第5章_常微分方程.pdfVIP

第一节 微分方程的概念 第二节 常见的一阶微分方程 第三节 高阶微分方程 第四节 欧拉方程 第五节 微分方程的应用 第六节 差分方程简介 微分方程简介  方程：线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、 对数方程、三角方程和方程组等。 用微积分描述运动，便得到微分方程。例如描述物质 在一定条件下的运动变化规律；某个物体在重力作用 下自由下落时距离随时间变化的规律；火箭在发动机 推动下在空间飞行的轨道等。 微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰 数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的 近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方 程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布·贝努利、 欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人 又不断地研究和丰富了微分方程的理论。 微分方程简介 ﹡常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理 学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的 其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑 学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响， 当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论 研究提供了非常有力的工具。 牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分 方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后 来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使 用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位 置。 微分方程简介 利用微分方程可以精确地表述事物变化所遵循的基 本规律，有了解方程的方法。它也就成了最有生命 力的数学分支。 常微分方程的特点：求通解 与特解  常微分方程的应用：自动控制、各种电子学装置的 设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研 究、化学反应过程稳定性的研 究等。这些问题都可 以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质 的问题。应该说，应用常微分方程理论已经取得了 很大的成就。 第一节 微分方程的概念 一.实例 例1. 曲线过(0,1),且曲线上每个点处的切线斜率等于该点的横坐 标,求此曲线方程. 设曲线方程为y = y(x), 则y  x, y |x 0 1 2 2 x y xdx x c c 1 y 2 1 2 例2. 质量为m 的物体垂直上抛, t =0 时,初始位移和初速度分别为 S ,v , 求物体的运动规律. 0 0  设运动方程为S=S(t), 则mS (t) mg , S | S ,S | v t 0 0 t 0 0 1 2  两次积分分别得出: S (t) gt c , 1 S (t)  gt c t c , 1 2