(NEW)北京大学数学科学学院《601数学基础》考试1（数学分析）历年考研真题汇编（含部分答案）.pdfVIP

目　录 2015年北京大学数学分析考研真题 2014年北京大学数学分析考研真题 2011年北京大学数学分析考研真题 2010年北京大学数学分析考研真题及详解 2009年北京大学数学分析考研真题 2008年北京大学数学分析考研真题 2007年北京大学数学分析考研真题及详解 2006年北京大学数学分析考研真题 2005年北京大学数学分析考研真题及详解 2002年北京大学数学分析考研真题 2001年北京大学数学分析考研真题 2000年北京大学数学分析考研真题 1999年北京大学数学分析考研真题 1998年北京大学数学分析考研真题 1997年北京大学数学分析考研真题 1996年北京大学数学分析考研真题 2015年北京大学数学分析考研真题 2014年北京大学数学分析考研真题 1．叙述实数列 的Cauchy收敛定理，并用Bolzano-Weierstrass定 理证明． 2 ．设数列 满足 证明 收敛，并求其极限． 3 ．计算 ，其中 是曲面 与 围成的有界 区域． 4 ．证明函数项级数 在 上一致收敛． 5．讨论级数 的收敛性． 6 ．设函数 在 可微，在0连续，且 证明 在0可微． 7．设 ， 是 上的连续函数，且 证明：存在 ，使得 8 ．设 ．设 是 向量场，V在 上恒为0， 在 上恒为0 ． （1）设 是 函数，求 （2 ）求 9 ．设 是有界连续函数，求 ． 10 ．设 是 函数， ，且 ．记曲线 的长度为L ．证明： ． 2011年北京大学数学分析考研真题 2010年北京大学数学分析考研真题及详解 2009年北京大学数学分析考研真题 2008年北京大学数学分析考研真题 2007年北京大学数学分析考研真题及详解 北京大学2007年数学分析考研试题及解答 1、用有限覆盖定理证明连续函数的介值定理。 证明 这里只证明连续函数的零点定理，由此即可推证介值定理。 命题：若 在 上连续，且 ，那么必然存在一点 ， 满足 。 采用反正法，若对于任意点 ，有 ，那么显然对于任意 ，仍然有 。 由于 的连续性，对于任意一点 ，可以找到一个邻域 ， 使得 在 中保号，那么 区间被以上形式的 ， 开区间族所覆盖， 由有限覆盖定理，可得存在有限个开区间 就 能覆盖闭区间 ，再由覆盖定理的加强形式可得，存在 ，满足当 ， 时，存在 中的某个开集同时 覆盖 。那么就证明了当 时，有 同号； 现取正整数 ，满足 ，令 ， ，那么有 ， 与