二章原子的结构和质习题.pptVIP

第二章 原子的结构和性质 习题 计算氢原子的基态波函数在 处的比值。 [ 解 ] ： 氢原子基态波函数为： 该函数在 两处的比较值为： 而 0 0 2 a r a r ? ? 和 0 2 / 3 0 1 1 1 a r s e a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 2 a r a r ? ? 和 71828 . 2 1 1 1 1 2 1 2 2 / 3 0 2 / 3 0 0 0 0 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? e e e e a e a a a a a ? ? 两处的比较值为： 和 在 0 0 2 1 2 a r a r s ? ? ? 38906 . 7 2 ? e 本题的计算结果所表明的物理意义是不言而喻的。 而且，如果我们注意到 在 r 的全部区间内随 着 r 的增大而单调下降这个事实，计算结果的合 理性也是显而易见的。 已知氢原子的 试问下列问题： （ a ） 原子轨道能 E= ？ （ b ） 轨道角动量 |M|= ？轨道磁距 |μ|= ？ （ c ） 轨道角动量 M 和 Z 轴的夹角是多少度？ （ d ） 列出计算电子离核平均距离的公式（不必计算出 具体 的数值）。 （ e ） 节面的个数、位置和形状怎样？ （ f ） 几率密度极大值的位置在何处？ （ g ） 画出径向分布图。 ? ? ? cos 2 exp 2 4 1 0 0 3 0 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a r a r a z p s 1 ? [ 解 ] ： （ a ） 原子轨道能为： （ b ） 轨道角动量为： 轨道磁距为： J J E 19 2 18 10 45 . 5 2 1 10 18 . 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 ) 1 1 ( 1 h h M ? ? ? e e ? ? ? 2 ) 1 1 ( 1 ? ? ? （ c ）设轨道角动量 M 和 Z 轴的夹角为 θ ，则： θ=90 0 0 2 2 2 0 cos ? ? ? ? ? ? ? ? h h M M z （ d ） 电子离核的平均距离的表达式为： (e) 令 , 得： 节面或节点通常不包括 的节 面只有一个，即 x,y 平面（当然，坐标原点也包含在 xy 平面内）。亦可直接令函数的角度部分 . ? ? ? ? ? ? d r r z z p p 2 * 2 ? ? ? ? ? ? 0 0 2 0 2 2 2 sin ? ? ? ? ? ? d drd r r z p 0 2 ? z p ? 0 90 , , 0 ? ? ? ? ? r r z p r r 2 , 0 ? 故 和 ? ? ? 0 90 , 0 cos 4 3 ? ? ? ? ? ? 求得 Y （ f) 几率密度为： 由式可见，若 r 相同，则当 θ=0 0 或 θ=180 0 时 ρ 最大（亦 可令 ），以 ρ 0 表示，即： ? ? ? ? 2 2 0 3 0 2 2 cos 32 1 0 a r p e a r a z ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 180 0 , 0 sin 或 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 2 0 3 0 0 0 2 0 3 0 0 0 0 32 1 0 32 1 180 , 0 , a r a r e a r a dr d dr d r e