特征值和征向量.pptVIP

73特征值与特征向 主要内容 定义 举例 6几何意义●特征子空间 求法 性质 定义 我们知道,在有限维线性空间中,取了一组基 之后,线性变换就可以用矩阵来表示.为了利用矩 阵来研究线性变换,对于每个给定的线性变换,我 们希望能找到一组基使得它的矩阵具有最简单的形 式.从现在开始,我们主要来讨论,在适当的选择 基之后,一个线性变换的矩阵可以化成什么样的简 单形式.为了这个目的,先介绍特征值和特征向量 的概念 定义731设A是数域P上线性空间v的一个 线性变换,如果对于数域P中一个数A,存在 个非零向量5,使得 A5=A05 那么λ称为A的一个特征值,而5称为A的属 于特征值A的一个特征向量 这里需要注意,特征值A是数域P中的数量, 特征向量占是非零向量.显然,零向量对任意的 都满足A5=41,因此这不具有“特征”意义 二、几何意义 在几何向量空间R和R3中,线性变换A的 特征值与特征向量的几何意义是:特征向量(起 点在坐标原点与其像A4同向(或反向),同向时, 特征值A0,反向时,A0,且的绝对值等 于|A5|与5|之比值;如果特征值A=0,则特 征向量被线性变换变成0 例如:在R2中,向量绕原点按逆时针方向旋转 角的旋转变换Sa,当0θπ时,对任意非零 向量∈R2,sa(a)与a都不共线(图7-8所示) Se(a) O 图7-8 此时,S没有实特征值;