高精度差分格式及湍流数值模拟（一）.pptVIP

保单调限制器示意图 高阶方法：光滑区 精度高 但鲁棒性差 低阶方法： 精度低 但鲁棒性好 基本思路： 低阶方法形成一个“保单调区间”，对高阶方法进行限制 Suresh A Huynh HT (1997) 3 阶格式构建保单调区间 （极值点3阶精度） 2） 高阶保单调格式 Suresh A, Huynh HT. Accurate monotonicity-preserving schemes with Runge-Kutta time stepping. Journal of Computing Physics 1997; 136:83–99. 3. WENO格式 1) 基本思路 {j-3, j-2,j-1,j,j+1,j+2} {j-3,j-2,j-1,j}； {j-2,j-1,j,j+1}； {j-1,j,j+1,j+2} 五个基架点被分成三个组 1） 若高精度逼近 ， 必然利用多个基架点 2） 如果该基架点内函数有间断，会导致振荡 3） 间断不可能处处存在 4） 把基架点分成多个组（模板）， 每个模板独立计算j点导数的逼近。 —— 得到多个差分 5）根据每个模板的光滑程度，设定权重 6） 对多个差分结果进行加权平均 。光滑度越高，权重越大。如果某模板存在间断，则权重趋于0； 如果都光滑，则组合成更高阶格式。 Copyright by Li Xinliang * 2) WENO格式的原理描述 考虑线性单波方程： 注： 为了简便，以非守恒型形式为例讲授其思路，实际使用时，请采用下一节介绍的守恒形式 （1） 确定网格基架点： 6个点 {j-3 , j-2,j-1,j,j+1,j+2} 构造出该基架点上的目标差分格式 计算 这6个点可构造5阶迎风差分： 该格式为WENO 的“目标”格式， 即， 光滑区WENO 逼近于该格式。 利用Taylor展开，可唯一确定系数 （可利用小程序coeff-schemes.f ) 实际上，还可利用分辨率优化技术，可构造出新的目标格式（降低精度、提高分辨率，见第4讲）。目前大量WENO的优化版做这种工作。 Copyright by Li Xinliang * 将这6个基架点分割成3个组（称为模板） 每个组独立计算 的差分逼近 模板1 模板2 模板3 模板1： {j-3,j-2,j-1,j} 模板2： {j-2,j-1,j,j+1} 模板3： {j-1,j,j+1,j+2} 利用这三个模板的基架点，可构造出逼近 的3阶精度差分格式 计算j点的导数u’, 竟然算出了三个不同的值，怎么办？ ENO 方法： 选择最优（最光滑）的，舍弃其余两个 WENO的处理方法： 三个都要，加权平均它们。 利用Taylor展开式，可唯一确定这些系数）（可利用小程序coeff-schemes.f ) 也可运用优化技术，降低精度、提高分辨率 …… Copyright by Li Xinliang * （3） 对这3个差分值进行加权平均，得到总的差分值 原则： A. 模板内函数越光滑，则权重越大； 模板内有间断时，权重趋于0 B. 三个模拟内函数都光滑时，这三个三阶精度的逼近式可组合成一个五阶精度的逼近式。 “理想权重” （3.1） 确定理想权重 令： 5阶精度 容易解出： Copyright by Li Xinliang * （3.2） 度量每个模板内函数的光滑程度 IS越大，表示越不光滑。 光滑区，不同模板上的IS趋近同一值。 （3.3） 给出实际权重 构造IS方法很多， 例如： 光滑区逼近 O（1）量级 间断区 量级，很大 特点： 间断区权重很小 光滑区，趋近于理想权重 （3.4） 给出最终的差分逼近 各阶导数的差分表达式都可作为光滑度量因子使用 Jiang Shu 的5阶WENO 格式 正通量情况（ a0） 5阶 WENO 格式 负通量情况 （a0） 利用对称性，正通量差分格式中下标“j+k”改成“j-k”即得到负通量的差分格式 注意:是j-1/2 而不是j+1/2 不变 注: Jiang G S. and Sh