8第四章 态的表象.pptVIP

态的表象 算符的矩阵表示 量子力学公式的矩阵表示 狄喇克符号 线性谐振子与占有数表象 第四章 态和力学量的表象(Representation) [教学重点]： 一个定义：表象的定义 二个表示： 态在任意表象中的表示 算符在任意表象中的表示 三个公式： 平均值公式 本征方程 在任意表象中的表示 薛定谔方程 重点 采用的数学工具——矩阵 矩阵力学 表象——状态和力学量的具体表示方式 波函数(状态) 算符 (力学量 ) 力学量坐标x(一维情况) 问题： 是否可以选择其他力学量？ 如：坐标表象、动量表象、能量表象、角动量表象等 第一节 态的表象(Representation of State) 一维自由运动粒子 本征函数： 一维无限深势阱中运动粒子的 本征函数： 一维线性谐振子 本征函数： 氢原子 、 、 的共同 本征函数： 以动量表象为例讨论(一维情况)： 动量算符 在x表象中的本征函数为： 任一波函数 可以表示为 的线性叠加，即 互为傅立叶变换式 可以证明： 以动量为自变量——动量表象波函数(动量波函数) 是同一种状态的两种不同的表示方式！！ 不同点： 是以坐标(x)为自变量 是以动量(P)为自变量 的意义： 在 描述的状态下测量动量所得 结果在P→P+dP内的几率。 动量波函数求解： 展开，即 将 用动量算符在x表象中的本征函数 从坐标表象到动量表象的变换 而展开系数由 确定，此时展开系数 就是 在动量表象中的形式 例1：设 ，求其在动量表象中 的形式（Ep为动量为P时对应的能量）。 解：动量算符在x表象中的本征函数为 动量的某一确定值 将 用 展开： 在动量表象中的形式 例2：将一维无限深势阱中粒子基态定态波函数在动量表象中表示出来。 动量算符在x表象中的本征函数为 将 用 展开： 解：一维无限深势阱中粒子基态定态波函数为 n=1 推广： 在任一力学量Q表象中的形式 设算符 的本征函数为 ，组成 完全系，对应的本征值为 ，组成分立谱 ∵本征值是分立的 求解 任意波函数 的集合就是 在Q表象 中的形式。 结论： 矩阵形式： 共轭矩阵(先转置再取共轭复数)： 例3：求一维无限深势阱中基态粒子的定态波函数在它的能量 表象中的形式。 将 用 线性展开： 解：设 在x表象中的本征函数为 基态定态波函数为 作业：一维无限深势阱(宽度为a)中的粒子处在态 其中 求粒子在该态时能量表象中的波函数形式。 第二节 算符的矩阵表示(Matrix representation of Operator) 设在x表象中，有算符 设um(x)为 的本征函数： am(t)、bm(t)分别是 和 在Q表象中矩阵元 将(2)和(3)代入(1): 一、算符的矩阵表示(具有分立谱的力学量Q表象) 求其在Q表象中的形式 用 左乘(4)两端并对x取值的全部区域积分： 第二节 算符的矩阵表示(Matrix representation of Operator) 引入 记号： Fnm矩阵元 (5)改写为： (7)展开： 第二节 算符的矩阵表示(Matrix representation of Operator) 第二节 算符的矩阵表示(Matrix representation of Operator) 即 是 在Q表象中的形式！ 矩阵元由下式确定： 二、厄密算符在Q表象中的矩阵特征： 共轭复数为： 第二节 算符的矩阵表示(Matrix representation of Operator) 是厄密算符 例如：算符 在Q表象中的矩阵F，矩阵元为 转置矩阵 的矩阵元 第二节 算符的矩阵表示(Matrix representation of Op