8高等数学课件(完整版)详细.ppt

一、问题的提出 二、二重积分的概念 三、二重积分的性质 四、小结 一、利用直角坐标系计算二重积分 二、小结 一、二重积分的换元法 二、小结 一、问题的提出 二、曲面的面积 三、平面薄片的重心 四、平面薄片的转动惯量 五、平面薄片对质点的引力 六、小结 一、三重积分的定义 二、三重积分的计算 三、小结 一、利用柱面坐标计算三重积分 二、利用球面坐标计算三重积分 三、小结 解 补充：利用对称性化简三重积分计算 使用对称性时应注意： １、积分区域关于坐标面的对称性； ２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的 奇偶性． 解 积分域关于三个坐标面都对称， 被积函数是 的奇函数, 解 （1） 柱面坐标的体积元素 （2） 球面坐标的体积元素 （3） 对称性简化运算 三重积分换元法 柱面坐标 球面坐标 解 解 如图， 解 解 原式 解 如图, 三重积分的定义和计算 在直角坐标系下的体积元素 （计算时将三重积分化为三次积分） 思考题 选择题: 练 习 题 练习题答案 规定： 柱面坐标与直角坐标的关系为 如图，三坐标面分别为 圆柱面； 半平面； 平 面． 　　如图，柱面坐标系中的体积元素为 解 知交线为 解 所围成的立体如图， 所围成立体的投影区域如图， 规定： 如图，三坐标面分别为 圆锥面； 球 面； 半平面． 球面坐标与直角坐标的关系为 如图， 球面坐标系中的体积元素为 如图， 卫星 １．设曲面的方程为： 如图， 曲面S的面积元素 曲面面积公式为： ３．设曲面的方程为： 曲面面积公式为： ２．设曲面的方程为： 曲面面积公式为： 同理可得 解 解 解方程组 得两曲面的交线为圆周 在 平面上的投影域为 当薄片是均匀的，重心称为形心. 由元素法 解 薄片对于 轴的转动惯量 薄片对于 轴的转动惯量 解 解 薄片对 轴上单位质点的引力 为引力常数 解 由积分区域的对称性知 所求引力为 几何应用：曲面的面积 物理应用：重心、转动惯量、 对质点的引力 （注意审题，熟悉相关物理知识） 思考题 薄片关于 轴对称 思考题解答 练 习 题 练习题答案 直角坐标系中将三重积分化为三次积分． 如图， 得 注意 X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. 若区域如图， 在分割后的三个区域上分别使用积分公式 则必须分割. 解 积分区域如图 解 积分区域如图 解 原式 解 解 解 解 曲面围成的立体如图. 二重积分在直角坐标下的计算公式 （在积分中要正确选择积分次序） ［Y－型］ ［X－型］ 思考题 思考题解答 练 习 题 练习题答案 例1 解 例2 解 基本要求:变换后定限简便，求积容易． 思考题 思考题解答 练 习 题 练习题答案 把定积分的元素法推广到二重积分的应用中. 若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域 时，相应地部分量可近似地表示为 的形式，其中 在 内．这个 称为所求量U的元素，记为 ，所求量的积分表达式为 * 柱体体积=底面积× 高 特点：平顶. 柱体体积=？ 特点：曲顶. １．曲顶柱体的体积 播放 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示． 步骤如下： 用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积， 先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域， 曲顶柱体的体积 ２．求平面薄片的质量 将薄片分割成若干小块， 取典型小块，将其近似 看作均匀薄片， 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量 积分区域 积分和 被积函数 积分变量 被积表达式 面积元素 对二重积分定义的说明： 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值． 在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D， 故二重积分可写为 D 则面积元素为 性质１ 当 为常数时， 性质２ （二重积分与定积分有类似的性质） 性质３ 对区域具有可加性 性质４ 若 为D的面积， 性质５ 若在D上 特殊地 则有 性质６ 性质７ （二重积分中值定理） （二重积分估值不等式） 解 解 解 解 二重积分的定义 二重积分的性质 二重积分的几何意义 （曲顶柱体的体积） （和式的极限） 思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.