8-1齐次方程的分离变数法.pptVIP

设导体圆柱单位长度带电量为q0，其在圆柱外产生电势 ，因而还有一个非齐次的边界条件 由拉普拉斯方程极坐标表示式 (P16习题解答， 见P421) 将上述定解问题表 示为极坐标形式： 与电势零点有关常数 解：试探解 ① ② ③ ③称为自然边界条件，①③构成本征值问题。 ①的通解为 由 得λ≥0( 为正整数)，不妨设 关于R的方程 欧拉型常微分方程 令 代入，得 解的形式为： 一般解为： 由边界条件确定系数 即傅里叶级数为零，则所有系数为零： 代入一般解，得： 当ρ→∞时，得： 对应系数相等 所以柱外静电势 在不同边界条件下的常用本征值与本征函数 第一类齐次边界条件 两端自由的第二类齐次边界条件 左端点固定、右端点自由的边界条件 左端点自由、右端点固定的边界条件 自然边界条件 例5：(P161，13题) 解： u(x,y)=X(x)Y(y) 由 得 由 得 故 例6：(P161，24)长为l的均匀杆，一端固定，另一端在纵向力 长期作用下。求解杆的稳恒振动。 解：无初始条件的问题 ① ② ③ 稳定振动，可假设振动周期和外力有相同的周期 u(x,t)=X(x)sinωt 代入① 由②得 由③得 讨论： 此解为一驻波 1. 波节： 2. 波腹： 习题的定解问题：P160 1. 2. 4. 7. * * 第八章 分离变数法(傅里叶级数法) 基本思想： 绝大多数定解问题都是一个整体，不可能先求方程的通解再求特解，可以尝试先将偏微分方程分离为几个常微分方程，再与分离的定解条件(一般是边界条件)构成本征值问题。 分离变数(傅里叶级数)法内容 各类齐次偏微分方程分离变数法求解，非齐次方程非齐次边界条件的处理方法。 教学提示： 重点掌握齐次方程的分离变数法的基本思想方法。理解本征值与本征函数(本征值问题)的概念。掌握对一些物理方程分离变数的计算。了解非齐次振动方程和输运方程的傅里叶级数求解法。理解非齐次边界条件的处理方法。 §8.1 齐次方程的分离变数法(驻波法) 一、基本步骤： 求解两端固定的均匀弦的自由振动： 泛定方程 ① 边界条件 初始条件 解：1)尝试解 u(x,t)=X(x)T(t) ② 定 解 问 题 两端均为第一类齐次边界条件 代入①得 显然有 方程改写为 ③ 及 ④ t为变数，T(t)不可能为0 x，t独立，二者相 等只能都为常数 本征值问题 2)求x 讨论方程③： (1)若λ0，则通解为 由 ，可解得C1=C2=0 从而u=XT=0，无意义，舍去。 (2)若λ=0 解得C1=C2=0 ，舍去。 (3)若λ0，则通解为 由 显然C2≠0，必须 ，则 (n为正整数) 本征值 ⑤ 本征函数族 ⑥ 3) 求T ⑤代入④得 通解为 ⑦ ⑥⑦代入②： u(x,t)=X(x)T(t) 得各个特解 ⑧ 本征解(本征振动) 定解问题线性，可叠加性： 通解(一般解)为