第六节傅里叶级数 课件.pptVIP

高 等 数 学 电 子 教 案 武 汉 科 技 学 院 数 理 系 第六节 傅里叶级数 上面我们已经研究了用幂级数来表示一个函数 f(x), 该函 数的幂级数展开式是以多项式的形式逼近非多项式函数 , 现在我们要研究的傅里叶级数展开是解决三角多项式近似 表达函数的问题 . 有了幂级数的展开式 , 为什么还要研究傅里叶级数 . 这是 因为幂级数展开对函数的要求太高 . 高 等 数 学 电 子 教 案 武 汉 科 技 学 院 数 理 系 (1) 要求函数连续 , 并且还要函数具有任意阶的导数 . (2) 如果具备条件（ 1 ）后 , 还要求它的余项极限为 0, 否 则就不是该函数的幂级数展开式 . 相反 , 傅里叶级数对函数的要求就低很多 , 它只要求函数 连续 , 即使函数不连续，但它允许只有有限个第一类间断 点 , 或有从某一阶开始的导数不存在的点 . 所以在工程中 , 广 泛应用傅里叶级数 . 下面 , 我们对傅里叶级数的展开式进行介绍 . 高 等 数 学 电 子 教 案 武 汉 科 技 学 院 数 理 系 1. 三角级数 , ) sin cos ( 2 1 0 的级数叫做三角 形如 ? ? ? ? ? n n n nx b nx a a 2. 三角函数系为 : 一 三角函数 , 三角函数系的正交性 ; .....) 3 , 2 , 1 ( , , 0 都是常数 其中 ? n b a a n n 1.cosx,sinx, cos2x, sin2x,….,cosnx, sinnx,…… 3. 三角函数系的正交性 : 三角函数系在 [- π,π] 上正交 , 是指三角函数系中任何不 同的两个函数的乘积在区间 [- π,π] 上的积分等于零 . 即 : 高 等 数 学 电 子 教 案 武 汉 科 技 学 院 数 理 系 ,...) 3 , 2 , 1 ( 0 cos 1 ) 1 ( ? ? ? ? ? n nxdx ? ? ) ,..., 3 , 2 , 1 , ( 0 cos cos ) 4 ( n k n k nxdx kx ? ? ? ? ? ? ? ? ,...) 3 , 2 , 1 ( 0 sin 1 ) 2 ( ? ? ? ? ? n nxdx ? ? ,... 3 , 2 , 1 , ( 0 cos si n ) 3 ( ? ? ? ? ? n k nxdx kx ? ? ) ,..., 3 , 2 , 1 , ( 0 si n si n ) 5 ( n k n k nxdx kx ? ? ? ? ? ? ? ? 高 等 数 学 电 子 教 案 武 汉 科 技 学 院 数 理 系 现选择 (4) 式用计算定积分来验证 , 由积化和差可得到 : ] ) cos( ) [cos( 2 1 cos cos x n k x n k nx kx ? ? ? ? 时有 当 n k ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? dx x n k x n k nxdx kx ] ) cos ( ) [cos ( 2 1 cos cos ) ,.... 3 , 2 , 1 , ( n k n k ? ? 0 ] ) sin( ) sin( [ 2 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n k x n k n k x n k 高 等 数 学 电 子 教 案 武 汉 科 技 学 院 数 理 系 注意 : 在三角函数系中 , 两个相同函数的乘积在区间 [- π,π] ? ? ? 2 1 ) 1 ( 2 ? ? ? dx ,....) 3 , 2 , 1 ( 2 2 cos 1 s in ) 2 ( 2 ? ? ? ? ? ? ? ? n dx nx dx nx ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? | 4 2 sin 2 1 2 2 cos 1 sin 2 n nx dx nx dx nx 我们把 (2) 式进行证明 : 上的积分不等于零 , 即 ,....) 3 , 2 , 1 ( 2 2 cos 1 cos ) 3 ( 2 ? ? ? ? ? ? ? ? n dx nx dx nx ? ? ? ? ? 高 等 数 学 电 子 教 案 武 汉 科 技 学 院 数 理 系 1, 函数展开成傅立叶级数的含义 : ?