如何计算周期问题.docVIP

周 期 问 题 导言： 在日常生活中，有一些现象按照一定的规律不断重复出现，比如每周七天，从星期一开始，到星期日结束，总是以七天为一个循环不断重复出现。我们把这种会重复出现的规律性问题称为周期问题。 要解决这类问题，关键要抓住两点： ①找出规律，找出周期。即多少个（次）又出现重复 ②用总量除以周期，看余数，余几就是周期里的第几个，没有余数就是最后一个。例1．有一列数，1、4、2、8、5、7、1、4、2、8、5、7、、、、、、、（1）第2009个数是多少？（2）这列数字中，“2”会出现多少次（3）这2009个数相加的和是多少？解析：仔细观察，这2009个数不是随意排列的，每六个数重复一次，按1、4、2、8、5、7一个循环依次不断重复出现排列的。周期找到了，接着用总量除以周期，把余数与周期对比，很容易解答问题。 （1） 2009÷6=334…5，即重复了334次，还余5个数，分别是1、4、2、8、5。所以第2009个数就是5 （2）（1、4、2、8、5、7）重复了334次，“2”也就出现了334次，再加上余下的五个数中，“2”又出现了一次，所以，数字“2”总共出现了335次 （3）我们把2009个数按每一组（1、4、2、8、5、7）这样分组，可以分成334组，还剩5个数，334组的数都相同，每组的和=1+4+2+8+5+7=27，那么这334组的总和是27×334=9018，再加上还余下的五个数，即为2009个数的总和了。 （1+4+2+8+5+7）×334+（1+4+2+8+5）=9018+20=9038例2．求2×2×…×2（2008个2相乘）+ 3×3×…×3（2009个3相乘）的个位数字解析：要想求和的个位数字，关键是要求出每个加数的个位数字。（1）先观察下2×2×…×2（2008个2相乘）个位数的特点，看是否有周期性，若有，则可根据周期问题的方法来解答 2 个位数字是2 2×2 个位数字是4 2×2×2 个位数字是8 2×2×2×2 个位数字是6 2×2×2×2×2 个位数字是2 可见，个位数字是按2、4、8、6不断循环重复，所以周期是4 2008÷4=502，没余数，个位数字就是最后一个：6（ 2）同理，我们也可以找出3×3×…×3（2009个3相乘）个位数字的排列规律 3 个位数字是3 3×3 个位数字是9 3×3×3 个位数字是7 3×3×3×3 个位数字是1 3×3×3×3×3 个位数字是3 可见，个位数字是按3、9、7、1不断循环重复出现，所以周期是4 2009÷4=502…1，余数是1，个位数字就是周期里面的第一个数，即3 所以，求2×2×…×2（2008个2相乘）+ 3×3×…×3（2009个3相乘）的个位数字，就是6+3的个位数字，即9例3．2009个学生按下列方法编号排成五列： 一 二 三 四 五 1 2 3 4 5 9 8 7 6 10 11 12 13 17 16 15 14 ………………………… 问最后一个学生应该在第几列？解析：仔细观察，除了第一个学生外，其余学生都是按这样的次序排列的：二、三、四、五、四、三、二、一、二、三、四、五、四、三、二、一 ……。按“二、三、四、五、四、三、二、一”不断循环重复，所以周期是8 （2 009-1）÷8=251，没余数，说明最后一个学生排在周期里的最后一个数，即第一列注意：周期可以是从第一个数开始不断循环重复，也可以不从第一个数开始，当不是从第一个数开始循环重复时，我们一般先从总数中把不参与循环的数剔除掉，再除以周期，看余数例4．2009年9月8日是星期二 （1）2009年9月27日是星期几？ （2）2009年 12月25日是星期几？ （3）2012年10月1日是星期几？解析：推算星期几的题目，第一要知道周期；第二也是最重要的是要学会计算天数。第三推星期几：总天数除以7，看余数，余几