量子力学 表象理论.doc

量子力学 ——表象理论—— 根据量子力学的基本原理，微观粒子的量子态用波函数描述，力学量用线性厄密算符描述。 ∧?前面所使用的波函数ψ(x,t)及力学量算符F(x,?ih)均以坐标x（以一维为例，实际是坐标这?x 个力学量算符的本征值谱）为变量而写出其具体表达形式的。是否有其它描述方法？（即以其它力学量的本征值谱为变量）?回答是：不仅有，且非常必要！?因为恰当选择描述体系的具体形式（自变量）可给运算带来很多方便。 量子力学中状态和力学量的具体表示方式——表象 常用表象：坐标表象，动量表象，能量表象，角动量表象等。 一个定义：表象的定义；二个表示：态在任意表象中的表示，算符在任意表象中的表示； 三个公式：平均值公式，本征值方程，薛定谔方程在任意表象中的表示。 幺正变换应作为综合性内容，重点掌握其性质。 表象理论中采用的数学工具主要是矩阵?矩阵力学（Heisenberg 海森堡）〖前称波动力 dinger〗 学 Schro 1态在任意表象中的表示 1.1 Q表象的形成 首先考虑，在坐标表象中力学量算符Q的本征函数构成正交归一完备系{un(x)}，其 本征值譜{Qn}；体系状态用归一化波函数ψ(x,t)描述，将其展开为力学量Q的本征函数的叠加 ψ(x,t)=∑an(t)un(x) （1） n *而 an(t)=∫un(x)ψ(x,t)dt （2） ∧ 并且 ∫(x,t)dt=∑an(t)=1 （3） n22 说明：（1）(x,t)表示（给出）量子态在t时刻测量粒子坐标为x的概率 an(t)表示（给出）在该量子态中测量粒子的力学量Q所得结果为Qn的概 率 二者从不同角度对同一量子态给予描述 物理意义是等价的 ψ(x,t)?{an(t)} 数学角度也是等价的 （2）an(t)一般不再是坐标x的函数[un(x)=δ(x?x′)除外]，而是力学量Q的本征 值Qn的函数，即n的函数，随n的不同取不同复数值 1.2Q表象中态函数的表示（态的Q表象） {an(t)}是从力学量Q的角度描述量子态的波函数?{an(t)}为量子态在Q表象中的表 122 示 以ψ表示这一量子态，则该态在Q表象中的表示可写成一列矩阵形式 ?a1(t)????a2(t)? ψ=? （4） M????a(t)??n? 共厄矩阵为 ψ+=a1(t)a2(t)Lan(t) （5） 体系的归一化条件∫(x,t)dx=∑an(t)=1写为矩阵形式为 n22(***) ψ+ψ=1 （6） 1.3讨论 （1）Q表象中状态的描述{an(t)}依赖于坐标表象中力学量Q的本征函数系{un(x)}，每 一个un(x)必定给出ψ在Q表象中的一个对应数an(t)，可见 几何空间坐标轴?{un(x)}?Q表象的基矢 几何空间中的矢量?ψ?态矢 态矢ψ在Q表象基矢上的分量{an(t)}构成了ψ在Q表象中的表示，由于{an(t)}构成的空间维数可以是无穷的，甚至是不可数的?希尔伯特空间（态空间） （2）对于连续谱， aq=∫uqψ(x,t)dx是连续的，写成函数形式 矩阵行列不可数 （3）力学量算符Q的本征函数un(x)在Q表象中（自身表象） * an(t)=∫un(x)um(x)dt=δnm δ符号 *∧ 即Q的本征值为分离谱时，其基矢un(x)在自身表象中的矩阵表示为 ∧ ?0???10?????????M?01???? u1=?? u2=?? KKun=?1? （7） ??00?????0??M??M??????M??? 态矢的矩阵形式仍为 ?1????0? ψ=a1u1+a2u2+L=a1??+a2 0???M??? ∧ ?a1???0?? ???a2?1?????0?+…=?M? ???an??M????M? ?? 注意：当Q的本征值为连续谱时，其基矢un(x)在自身表象中为δ函数 （4）所谓Q表象的基矢，应该是一组力学量完全集决定的本征态，例如在H,L,Lz三 ∧ ∧ 2 ∧ ψnlm} 者的共同表象中，基矢为unlm=ψnlm，即共同本征函数系为{ 1.4特例 vv p?r1?∧∧∧?hv(x,y,z)= （1）动量表象. 以力学量完全集?px,py,pz?的共同本征函数up e3/2 (2πh)?? i 作为基矢，则任意态 v(p,t)uv(x,y,z)dp ψ(x,y,z,t)=∫app vv 故 ap(t)=∫up(x,y,z)ψ(x,y,z)dτ 为连续谱，若具体给出状态为平面单色波 vv (p?r?E0t)?E0t1hv(x,y,z)eh ψ(x,y,z,t)= e=up03/2 (2πh) ii 这是动量算符的本征值为p0的本征态（在坐标表象中的表示），它在动量表象的表 示为 ap(t)=∫up(x,y,z)up0(x,y,z)e * i ?E0th i?E0th dτ=e δ(