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正弦交流电有效值的证明 一、假设有两个交变电压其最大值与周期均相同，瞬时值表达式分别为 u =U sinωt、 1 m u =U cosωt,其中，ω=2π/T,把它们分别加在两个阻值相同的电阻上，设电阻的阻值为R， 2 m 由于电流的热效应与电流的方向及先后作用的时间顺序无关，故在一个周期内两个交流电产 生的热量相等，设都为Q，产生的总热量Q =2Q。在任一时 t，这两个电阻上的热功率分 总 2   2 u U sin t 别为P  1 m ， 1 R R u 2 U m 2   2 u U cos t P  2 m 2 R R . O t T t O t T -U -U 两个电阻上总的发热功率为 m m 2  2  2   U sin tcos t U2 m PPP   m 。可见两个电阻上总的发热功率是一个定值，与 1 2 R R U2 m 时 t无关，所以在一个周期内两个电阻上总的发热量为QPT  T. R 用一个恒定电压为U 的电源，分别给两个相同的电阻R供电，在相同时间T 内，每个电阻 U2 U2 产生的热量是 Q= T ，两个电阻产生的总热量为 Q=2 T.由热效应的等效可知 R R U2 U2 U m U m 2 T T 。可得 。而这个恒定电流的电压U 就是正弦交变电流的电压的有 R R 2 效值。电流、电动势有效值可同法证得。 二 （积分法）设流过定值电阻R 的电流按正弦规律变化，即i=I sinωt.因为时 t瞬时功率 m 2 2 2  T pdt p=i R=I Rsin ωt，则一个周期内电阻R上产生的热量为Q= . m