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航空航天飞行器控制、制导与导 航 线性矩阵不等式 Linear matrix inequality(LMI): 矩阵变量集合中线性（或仿 射）的矩阵不等式. 1.1: LMI 的基本性质 1 Q正定：如果 xT Qx 0, ?x?= 0 (1) Q半正定：如果 xT Qx ≥ 0, ?x?= 0 (2) P负定（半负定）：如果Q = ?P正定（半正定）。 任意方阵Q可以写作 Q = (Q + QT ) 2 + (Q ? Q T ) 2 (3) 第一项对称，第二项反对称。 2 如果Q为复数矩阵，并且对任意的非零的x， 有xHQx 0成立，则称Q正定。Q为Hermintian矩阵。 LMI的基本结构： ∑ m F(x) = F0 + xiFi (4) i=1 xi是变量，而Fi是给出的常数实对称矩阵。 LMI的基本问题： 可行性问题：就是找到x使得不等式(4)成立。注意式(4)中 的F(x) 0描述的是变量x = [ m] 的一种仿射关 T x1 · · · x 系。 3 而正常情形下，我们看到的变量x是由一个或多个矩阵组 成，这些矩阵的列在不等式(4)中被堆砌成为一个向量， 即： F(x) = F(X1, X2, · · · , X n) (5) 其中，Xi ∈ R qi×p i = m，所有矩 i=1 qi × p i是一个矩阵，而∑ n 阵变量的列堆叠起来，形成单个向量变量x。 于是我们考虑下面常用形式的函数： F(X1, X2, · · · , Xn) = F0 + G1X1H1 + G2X2H2 + · · · + GnXnHn 4 ∑ n = F0 + GiXiHi (6) i=1 其中，F0, Gi, Hi为给定矩阵，Xi是需要求解的矩阵变量。 Example 1. 设Q 是一个Hermitian矩阵（Q = QH)，具 有Q = QR + j QI的形式，证明当且仅当 ? I QR?? QR QI ? 0 (7) ?Q 1.2: LMI 系统 我们经常遇到下面形式的LMI约束： 5 F1(X1, · · · , Xn) 0 (8) F2(X1, · · · , Xn) 0 (9) . . . (10) Fp(X1, · · · , Xn) 0 (11) 其中： Fj(X1, · · · , X n) = F0j + ∑ n i=1 GijXiHij (12) 1.3: LMI 问题的类型 LMI可行性问题 6 一般是寻求带有LMI约束的优化问题或特征值问题。 寻求可行解{X n}，使得 1, X2, · · · , X F(X1, · · · , Xn) 0 (13) 对解的最优性不感兴趣，只是希望找到一个解，它可能不 唯一。 Example 2. 确定线性系统的稳定性： 考虑一个自治线性系统 x˙ = Ax 那么，用于证明该系统稳定 性(Re{λi(A)} 0, ?i)的Lyapunov LMI问题，就是寻 7 找P 0，使得 AT P + PA 0 (14) 这是一个关于变量P 0的LMI可行性问题，然而，给定满 足该问题的任意的P 0，明显地集合 P = {βP : 标量β 0} 中任意矩阵都满足上述问题。 (15) P 0和(14)所描述的LMI约束，可以等价地组成一个LMI： ? 0 P?? AT P + PA 0 ? 0 (16) 8 求解这个LMI的Matlab代码如下： %% A: n?n state matrix A=[?2 1;1 ?2]; setlmis ( [ ] ) P= lmivar ( 1 , [ size (A, 1 ) 1 ] ) ; Lyap=newlmi %% 只需要写出对角线上面，或下面的项。 lmiterm ( [ Lyap 1 1 P] , 1 ,A, ’ s ’ ) ; % AP+PA’0 lmiterm ( [ Lyap 1 2 0 ] ,0 ) ; % 0 lmiterm ( [ Lyap 2 2 P] ,1 , ?1) ; % P0 LMIsys=getlmis ; [ tmin , xfeas ]= feasp ( LMIsys ) ; 9 %可行 (是稳定的A) 当且仅当 tmin0 tmin 运行结果： Lyap = 1 Solver for LMI f e a s i b i l i t y problems L ( x ) R( x ) 10 This solver minimizes t subject to L ( x ) R( x ) + t ? I The best value of t should be negative for f e a s i b i l i t y I t e r a t i