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矩阵特征值与特征向 量的研究 目录 一 矩阵特征值与特征向量研究的背景及意义3 二、特征值与特征向量的定义及其性质4 2.1 定义 4 2.2 性质 4 三 特征值及其特征向量的求法及其 MATLAB 的实现5 3.1 QR 方 5 3.1.1 基本原理 5 3.1.2 具体实例 5 3.2 用多项式的方法来求解特征值10 四 特征值与特征向量的简单应用12 五 小结16 2 一 矩阵特征值与特征向量研究的背景及意义 矩阵的特征值与特征向量是高等代数的重要组成部分，通过对矩阵特征值与 特征向量的性质介绍，以及对矩阵特征值与特征向量理论的分析，将特征值与特 征向量应用于方程组的求解问题是高等代数中的重要内容。 随着社会到的进步，计算机的飞速发展，高等代数这门课程已经渗透到各行 各业里面。在许多方面都有着很重要的应用。在多数高等代数教材中,特征值与 特征向量描述为线性空间中线性变换 A 的特征值与特征向量。从理论上来讲只要 求出线性变换 A 的特征值和特征向量就可以知道矩阵A 的特征值和特征向量。因 此求矩阵的特征值与特征向量就变得尤为重要的引入是为了研究线性空间中线 性变换 A 的属性。 在物理，力学，工程技术中有很多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值和 特征向量的问题。现在教材中给出的求解特征值和特征性向量的方法基本上都是 通过求解特方程来求解。有时候特征方程会极其的麻烦。有一些文章中虽然给了 初等行列变换的方法来较少计算量，但是仍未摆脱参数行列式计算的问题。本文 中我们将首先讲解有关特征值和特征向量的相关知识，另外介绍一些简单实用的 方法来求解矩阵的特征值与特征向量。 3 二、特征值与特征向量的定义及其性质 2.1 定义 设 A 是 n 阶方阵，如果存在数 λ 和 n 维非零向量 x，使得 Ax =λ x 成立，则称 λ 为 A 的特征值，x 是 A 的对应特征值 λ 的特征向量。 2.2 性质 （1） 是 A 的特征值 ( ) | | = ― = 0 0 0 （2 ） 是 A 的属于特征值 的特征向量的重要条件为 为齐次方程组 α 0 α ― A x = 0非零解。 （0 ） （3）n 阶矩阵在复数域上恰好有 n 个特征值（重根按重数计算）。 （4）n 阶矩阵 A 为可逆矩阵的重要条件是 A 的特征值全不为 0。 （5）A 与有相同的特征值。 （6）设 A 是可逆矩阵，如果 是 A 的一个特征值，对应的特征向量为 ，则 ―1 0 α 0 是 ―1 的一个特征值，对应的特征向量仍然为 。 α 4 三 特征值及其特征向量的求法及其 MATLAB 的实现 3.1 QR 方 3.1.1 基本原理 QR 算法是计算矩阵特征值问题最有效的方法之一，也是普遍被用于工程实践 中的一种方法。QR 方法的思想是基于对于实的非奇异矩阵都可以分解为正交矩 阵 Q 和上三角矩阵 R 的乘积，而且当 R 的对角元素符号取定时，分解是唯一的。 QR 算法的基本步骤如下 （1）令 ，对 进行正交分解，分解为正交矩阵 和上三角矩阵 的