10.平面向量数量积的物理背景及其含义.pptVIP

(2009·海南、宁夏高考，理9)已知点O、N、P在△ABC所在平面内，且 A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心 利用平面向量数量积求解长度问题 变式： 练习4:辨析 1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0． 2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a · b≠0． 3．若a ≠0，a · b =0，则b=0. 4．若a · b=0，则a,b中至少有一个为0． √ × × × √ ５. 对任意向量 a 有　　　　.(a · a 常记作a2) × 8. 若b≠0，a·b＝c·b ，则a=c 9. (a·b)c=a(b·c) 10. 对任意向量 a 有 × × × × √ 7．若 ，则 中至少有一个为 ． 【高考真题链接】 * 第十课时 平面向量的数量积的物理背景 及其含义 向量的夹角 两个非零向量a 和b ，作 ， ，则 叫做向量a 和b 的夹角． O A B a b O A B b a 若 ，a 与b 同向 O A B b a 若 ，a 与b 反向 O A B a b 若 ，a 与b 垂直， 记作 　 复习回顾 一个物体在力F的作用下产生位移s（如图） θ F S 那么力F所做的功W为： 情景引入 W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角 问题：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？ 两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。 　　功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积； 从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。 平面向量的数量积的定义 说明： 已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为? ，我们把数量 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a · b ，即 （2） a · b中间的“ · ”在向量的运算中不能省略，也不能写 成a×b ，a×b 表示向量的另一种运算（外积）． 规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 0． （1） 问题3：向量的数量积运算与实数同向量积的线性运算的结果有什么不同？ 实数同向量积的线性运算的结果是向量 两向量的数量积是一个实数，是一个数量 问题4：影响数量积大小的因素有哪些？ 这个数值的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。 夹角 的范围 正 负 0 数量积符号由cos?的符号所决定 平面向量的数量积的运算性质 问题5：设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？ a⊥b a·b＝0 问题6：当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向时，a·b等于什么？特别地，a·a等于什么？ 当a与b同向时，a·b＝︱a︱︱b︱； 当a与b反向时，a·b＝－︱a︱︱b︱； a·a＝a2＝︱a︱2或︱a︱＝ . 问题7：︱a·b︱与︱a︱︱b︱的大小关系如何？为什么？ ︱a·b︱≤︱a︱︱b︱ 问题8：对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？ （３）a · b ≤| a | · | b |. （１）a⊥b 　　a · b=0 . (判断两向量垂直的又一依据) 特别地， （２）当a与b同向时，a·b ＝ | a | · | b |； 　　 当a与b反向时，a·b＝ －| a | · | b |. （４） 平面向量的数量积的运算性质 设向量a、b为两非零向量，e是与b同向的单位向量： (求模的方法) (求角的方法) (证明共线的方法) 例1. 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ. 解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°， ∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18； 若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°， ∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18； ②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°， ∴ａ·ｂ＝０； ③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有 ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6× ＝9 练习: 变式:如图的菱形ABCD中，角A等于 ， AB=2,求下列各数量积. D A