大数据数学基础第4章 线性代数基础.pptVIP

对三阶行列式的展开式进行观察，可以发现它可以用二阶行列式来表示，如(式 4-15)所示。 (式 4-15) 一般来说，低阶行列式的计算比高阶行列式的计算简便。本小节考虑利用低阶行列式来表示高阶行列式，即将(式 4-15)推广到 n 阶行列式的情形。为此，先引入余子式和代数余子式的定义。 行列式按行（列）展开 1. 代数余子式定义 定义 4?6 在在 n 阶行列式中，划去元素 所在的第 i 行和第 j 列后，所得到的 阶行列式叫做元素 的余子式，记为 ；称 为元素 的代数余子式。 例如四阶行列式 ，其中元素 的余子式为 。 引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有元素除元素 外都为零，那么该行列式等于元素 与它的代数余子式的乘积，即 。 行列式按行（列）展开 定理 4?3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即如(式 4?16)或(式 4?17)所示。 (式 4?16) (式 4?17) 定理 4?3称为行列式按行（或列）展开法则。利用这一法则并结合行列式的性质，可以简化行列式的计算。 推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应各元素的代数余子式乘积之和等于零，即如(式 4?18)或(式 4?19)所示。 (式 4?18) (式 4?19) 行列式按行（列）展开 2. 定理 目录 定义 4?7 设由 个数排成一个 m 行 n 列的数表，则称为 m 行 n 列矩阵，简称 矩阵，简记为(式 4-20)所示的 A 或 ， 称为第i行第j列元素。 (式 4-20) 当 时，矩阵 A 称为 n 阶矩阵或 n 阶方阵。 当 时，矩阵 A 只有一行，称为行矩阵，可记为 。 当 时，矩阵A只有一列，称为列矩阵，可记为 。 矩阵 和矩阵 ，若 ，则称 A 与 B 为同型矩阵。 矩阵的定义 定义 4?8 设有矩阵 ，其所有的元素均为 0，称为零矩阵，记为 O。 特殊矩阵 1. 零矩阵 定义 4?9 设有矩阵 ，其主对角线上的元素均为 1，其余元素全为零的 n 阶方阵，称为 n 阶 单位矩阵，记为 E 或 I 。 特殊矩阵 2. 单位矩阵 定义 4?10 如(式 4?21)所示的矩阵 A，其非主对角线上的元素均为 0，称 A 为对角矩阵，可记为