应用PDE讲义16_拟谱方法.pdf

        应用偏微分方程与科学计算 讲义（十六） Lecture Notes on   Applied Partial Differential Equations and  Scientific Computing  No. 16    马 石 庄            2011．11．08．北京      1      第16讲 谱方法与拟谱方法    教学目的：      谱方法是一种既古老又新兴的求解偏微分方程的数值方法，离散 Fourier 变换的快速算法出现，给谱方法带来了生机，有效地解决了 谱方法计算量巨大的困难，使其具有实用价值。谱方法已和有限差分 法、有限元法一起成为数值求解偏微分方程的第三种基本方法．  主要内容：  §1  谱方法  4  1.1 Fourier谱方法  4  1.2 Galerkin方法  7  1.3 Gauss型求积  11  §2 Fourier拟谱法  16  2.1 离散Fourier变换  17  2.2 插值函数的微分  20  2.3 例子  24  §3 Chebyshev拟谱法  26  3.1 离散多项式变换  27  3.2 Chebyshev多项式  30  3.3 例子  34  练习16  37  2      谱方法与差分法和有限元法都不同。在谱方法中试探函数被取为 无穷可微的整体函数，一般是奇异和非奇异Sturm‐Liouville 问题的特 征函数。根据检验函数数的不同选取，谱方法可以分为Galerkin方法， Tau方法或配置法，又称为谱方法，Tau方法或拟谱方法。在Galerkin 方法中，检验函数与试探函数属于同一个空间，并要求满足边界条件； Tau方法类似Galerkin方法谱方法，但不要求检验函数满足边界条 件．而是利用边界条件再补充一些方程，最后得到一个封闭的方程组； 配置法则是取检验函数为以那些配置点为中心的Dirac‐函数，使得 微分方程在这些配置点上精确成立．  如果按所讨论的问题是否周期，又可把谱方法分为Fourier谱方 法（周期情形）和Chebyshev谱方法，Lagrange谱方法和Hermit谱 方法等，这些方法是分别以三角多项式，Chebyshev多项式，Legendre 多项式，Hermit 多项式等Sturm‐Liouville 问题的谱函数作为基函数 的来讨论问题。由于FFT 的出现以及Chebyshev 多项式和三角函数 间的密切关系，使得Chebyshev谱方法考虑得更多。  在实际应用中，拟谱方法比谱方法更有效，因为它更易于和快速 变换方法（如FFT）连结起来使用．但拟谱方法会产生Gibbs型振荡 现象，可能引起能量的反常增长，或减弱解的非线性。  谱方法的最大魅力是它具有所谓“无穷阶”收敛性，即如果原方 程的解无穷光滑，那么用适当