科学计算与数学建模第二章.pptxVIP

科学计算与数学建模; 求未知函数近似表达式的插值法;2.1 城市供水量的预测问题; 表2.1.2?2000-2006年1月城市的总用水量（万吨/日）;2.2 求未知函数近似表达式的插值法;定义2.2.1 设函数 在区间 上连续，且在 个不同的点 上分别取值 ，在一个性质优良、便于计算的函数类 中，求一简单函数 ，使 (2.2.1) 而在其它点 上作为 的近似。称区间 为插值区间，点 为插值节点，称（2.2.1）为 的插值条件，称函数类 为插值函数类，称 为函数在节点 处的插值函数。求插值函数 的方法称为插值法。插值函数 类 的取法不同，所求得的插值函数 逼近 的效果就不同，它的选择取决于使用上的需要。常用的有代数多项式、三角多项式和有理函数等。当选用代数多项式作为插值函数时，相应的插值问题就称为多项式插值。; 在多项式插值中，求一次数不超过 的代数多项式 (2.2.2) 使 (2.2.3) 其中 为实数。满足插值条件(2.2.3)的多项式(2.2.2)，称为函数 的 次插值值多项式。 次插值多项式 的几何意义：过曲线 上的 个点 作一条 次代数曲线 作为曲线 的近似，如图2.2.1所示。 ;2.2.2插值多项式存在唯一性与求插值多项式的解方程组方法 由插值条件（2.2.3）知， 的系数 满足线性方程组 ; 因 是区间 上的不同点，上式右端乘积中的每一个因子 ，于是系数行列式不等于0，即方程组（2.2.4）的解存在且唯一。从而得出下面的结论： 定理2.2.1 若节点 互不相同，则满足插值条件（2.2.3）的次插值多项式（2.2.2）存在且唯一。; 在上一节里，不仅指出了插值多项式的存在唯一性，而且也提供了它的一种求法，即通过解线性方程组（2.2.4）来确定其系数 。但是，当未知???个数多时，这种做法的计算工作量大，不便于实际应用，Lagrange插值法就是一种简便的求法。;2.3.1 Lagrange插值基函数 先考虑一下简单的插值问题：对节点 中任意一点 做一 次多项式 使它在该点上取值为1,而在其余点 上取值为零, 即 （2.3.1） 表明 个点 都是 次多项式 的零点，故可设 其中 为待定系数，由条件 可得 ; 对应于每一节点 都能求出一个满足插值条件（2.3.1）的 次插值多项式（2.3.2），这样，由（2.3.2）式可以求出 个 次插插多项式 。容易看出，这组多项式仅与节点的取法有关，称它们为在 个节点上的 次基本插值多项式或 次插值基函数。;2.3.2 Lagrange（拉格朗日）插值多项式 利用插值基函数立即可以写出满足插值条件（2.2.3）的 次插值多项式