《数学建模》量纲分析模型.pptVIP

定义：一组物理量，若彼此相互独立，且其它物理量均是这些物理量的合乎某种规律的组合，则称这些物理量为基本物理量。 4、量纲与单位的关系 量纲齐次法则 用数学表达式表示一个物理定律时，等式两边的量纲必须是一致的（或者都是无量纲量）。 分析建模 10. 列出有关的物理量 运动周期 t，摆线长 l，摆球质量 m，重力加速度 g，振幅 θ. 20. 写出量纲 [t]=T，[l]=L，[m]=M，[g]=LT-2，[θ]=1. 30. 写出规律 f(t, l, m, g,θ)= 0. 40. 写出规律中加项 π 的形式 π=tα1 lα2 mα3 gα4θα5 50. 计算 π 的量纲 [π] = Tα1Lα2Mα3( LT-2)α4 = Tα1-2α4Lα2 + α4M α3 60. 应用量纲齐次原理 由[π] = 1, 可得关于αi (i ＝1, …, 5)的方程组 α1 - 2α4 = 0 α2 + α4 = 0 α3 = 0 ?5 任意 70. 解方程组 解空间的维数是二维。 对自由变量(?4， ?5)选取基底(1, 0)和(0, 1)。 关于 ?1, ?2, ?3 求解方程组可得基础解系 80. 求π 将方程的解代入加项 π 的表达式，可得 π1 = t2 l-1 g = t2 g / l ， π2 = θ . 90. 建模 单摆运动的规律应为 g (π1, π2) = 0， 解出 π1 可得 π1 = k1(π2) ，即 t2 g / l = k1(θ) ， 100. 检验 ① 周期与 质量 m m=390g m=237g l = 276cm 3.327s 3.350s l = 226cm 3.058s 3.044s ② 周期与振幅 θ (l=276cm, m=390g) θ (0) 8.34 13.18 18.17 23.31 28.71 33.92 39.99 46.62 k(θ) 6.35 6.35 6.354 6.354 6.388 6.388 6.471 6.524 θ 150 时, k( θ ) ? 2 π。 k(θ) 与 θ 有关。 * 量纲分析模型 一、单位与量纲 1、单位 数学建模的目的是解决实际问题，而实际问题中的量都有 相应的单位。数学中纯粹的数在实际问题中不具有明确的含义。 如在实际问题中谈某个长度量，在关注其数值的同时还必须关 注其单位，否则，我们便没有把这个量完全弄清楚。但实际问 题中的诸多量并非全是相互独立的，其中一些量能起到基本量 的作用，其它量是这些基本量的符合某种规律的组合，如速度 是长度与时间这两个基本量的一种规定的组合。 如果规定了基本量的单位，其它量的单位也随之确定。 2.10 量纲分析 2、基本物理量 导出量：由基本量通过自然规律导出的量。例如： 速度、加速度、力、… 类似于向量空间中的基的概念，一方面基中的向量线性无关（独立）；一方面向量空间中的任何向量均可由其线性表示（导出量）。 定义：一物理量与基本物理量之间的规定关系，称为该量的量纲。这种规定关系常以基本物理量的幂指乘积形式表示，因此也称为量纲积。即任一物理量Q的量纲皆可表示成 [Q]=LαM βTγIδΘεJζNη 其中，L，M，T，I，Θ，J，N是基本物理量的量纲； 称量纲指数均为0的物理量为无量纲量。 基本物理量 名称 量纲 单位 符号 长度 L 米 m 质量 M 千克 kg 时间 T 秒 s 电流强度 I 安培 A 温度 Θ 开尔文