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彩票中的数学 问题重述 彩票在国内已经得到较大程度的推广，并受到众多彩民的欢迎。彩票类型主要有“传统型”和“乐透型”两种，主要在所采用的方案上有所不同。 不管采取何种方案，彩票管理部门都希望利用相对合理的销售规则和奖金设置，吸引彩民，扩大销售总额。 题目要求我们根据所给方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素来评价各方案的合理性，并设计出一种“更好”的方案。 彩票的类型 I、“传统型”彩票采用“10选6+1”方案，每注中奖号 码由6个基本号码即一个特别号码组成。(有序) 彩票的类型 II、“乐透型”采用“n选m”或“n选m+1”方案。(无序) 甲、“n选m”制：中奖号码由1—n中的互不重复的m个基 本号及一个特别号码组成。每注选m个不同号。 奖项设置 总奖金比例 = 单注金额2元 单注得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖 一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖 一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元 低项奖为固定奖，奖额固定 高项奖为浮动奖，按比例分配 各高项奖额的计算方法为： [(当期销售总额 ×总奖金比例) -低项奖总额 ]×单项奖比例 问题的分析 R---利润 D---彩民购买彩票的总注数 q---单注金额 k---总奖金比例 现q=2,k=50%一定，所以R与D成正比 模型的假设 1 不考虑除奖项设置方案以外的其它可能影响彩民购买彩票的因素（如广告等媒体宣传手段） 2 彩民购买彩票的注数与彩票放案的吸引力直接相关，表现为吸引力越大，售出的彩票注数越多 3 不同的彩民对彩票有不同的喜好，表现为中奖面（即获奖概率）和奖金额对其吸引力的不同 方案的好坏~彩票方案的评价函数~对彩民吸引力的大小 1）奖金额 2）中奖面 设第 i 种方案有 L 等奖,1等奖到L 等奖的中奖率分别为Pi1，……，PiL，单项获奖金额分别为Ci1，……，CiL，它队某一类型彩民的吸引力为Ai 当以上2L个参数中只有一个增大，而其余(2L-1)个不变时，根据实际情况可以知道，吸引力Ai必然随之增大而且吸引力Ai应该是以Pi1，……，PiL，Ci1，……，CiL这2L个参数为自变量的函数，且对于每一个自变量而言，均是单调增函数，这一点对于任何设奖方式均适用。 即 应该满足 图1 模型的建立与求解 模型一 吸引力函数 由于可能存在数量级上的巨大差异，必须将p c 置于同一数量级，所以…… 最大特征根的近似值为 : 模型的建立 模型二 根据彩民对中奖面和对中奖金额的不同偏爱，将彩民分为n种彩民群体，每一种群体 对中奖面和奖金额度的重视程度不同，则某一确定的设奖方案对每种人群的吸引力也不同…… 变量的设定 将人群分为“保守型”和“冒险型” 两种，即在上述公式中令n=2 熵值取权法： 模型的假设及符号说明 模型的假设 （1）每注彩票只兑付最高奖级奖金，不可兼得； （2）假设彩票的规则是以公平合理为原则； （3）假设彩票的发行费用不计，彩票总奖金比例一般为销售总金额的50%； （4）假设高项奖按事先设定的百分比分配，且按当期各奖级实际中奖注数平均分配该奖级； （5）奖金取绝于当期彩票投注额的多少，投注额越多，奖金越高； （6）假设彩民大都具有博彩心理。 符号说明 (1) :表示i(i=1,2,3)等奖是否被取走，即=0或1； (2) :表示i等奖中奖注数； (3) :表示i等奖的奖金额； (4) :表示当期已售出的彩票注数； (5) :表示每注彩票第i项奖的奖金额； (6) :表示取走的奖金额； (7) :表示一注中奖彩票被取走的奖金比率，即单注彩票的平均收益率； (8) :表示第i等奖的中奖概率； (9) :表示第i等奖的奖金分配的百分比； (10) :表示博彩心理函数； (11) :表示低项奖奖额在总奖项中所占的比例； (12) :判别方案合理性的判别函数。 求两种类型彩票每注中各奖项的概率 设彩票有7等奖，对某一方案而言，每注彩票中各奖项的概率是可求的，分别用 ， ，… 来表示中一等奖到七等奖的概率。 设当期销售n注彩票，研究每注彩票的收益 由于当期彩票的总奖金与售出彩票注数n有关，n注彩票中，获得第　等奖的中奖注数 是随机变量，且 服从二项分布 ，即 由贝努利大数定律可知，当 足够大时， 近似服从正态分布， 其期望与方差分别为 记 由 的独立性 高项奖的第i等奖的奖金额 ，由题目中给出的计算方法得 若 表示