泛函分析复习题解答(不完全版).pdfVIP

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2020-03-15 发布于安徽
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泛函分析复习题解答(不完全版).pdf

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第一章练习题 1．记C([a, b]) 是闭区间[a,b]上连续函数全体构成的集合, 在C([a, b]) 上定义距离如下: b (f ,g ) a | f (x ) g (x ) |dx , f ,g C ([a ,b ]) ，（1）按是否完备? C([a, b])  （2）(C([a, b]),) 的完备化空间是什么? 答：(1) 不完备, 例如对于[a,b] [0,2] 以及n 1,2, ,定义  n x , 0  x 1, f n (x ) :  1, 1 x  2. 则{f n (x )}C ([0,2])在本题所定义的距离的意义下是Cauchy 列, 因为 1 (f n , f m ) 0 | f n (x ) f m (x ) |dx 1 1 n m  x dx  x dx 0 0 1 1   0, (m, n ). n 1 m 1 另一方面, 点列{f n (x )}并不能在本题所定义的距离的意义下收敛到C([0,2]) 中的某个元. 事实上, 在几乎处处收敛的意义下, 我们有 0, x [0,1)  f n (x ) g (x )  1, x [1,2]. 因此, 根据Lebesgue 有界收敛定理, 可以得到 1 (f n ,g ) 0 | f n (x ) g (x ) |dx 1 1 1 n n 0 | x  0 |dx 0 x dx n  1  0. 但g (x ) C ([0,2]) . (2) 的完备化空间是 1 . 因为 C([a, b]) L ([a,b]) (i) 在距离的意义下, 是 1 的稠密子集. 事实上, 任意取定一个  C([a, b]) L ([a,b]) 1 , 需