无理数与实数（提高）知识讲解.docVIP

PAGE 第 PAGE 1 页 共 NUMPAGES 4 页 无理数与实数（提高） 责编：杜少波 【学习目标】 1. 了解无理数和实数的意义； 2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 . 【要点梳理】 要点一、有理数与无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数. 要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 要点二、实数 有理数和无理数统称为实数.有理数和无理数组成了一个新的数集——实数集，实数集通常用字母R表示. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 要点三、实数大小的比较 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 要点四、实数的运算 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 【典型例题】 类型一、实数概念 1、把下列各数分别填入相应的集合内： ，，，，，，，，，，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1） … 有理数集合 … 无理数集合 【答案与解析】 解：有理数有：， ，，，0， 无理数有：，，， ，，， 0.3737737773…… 【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数. 常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.3737737773……③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如，， ，，. 举一反三： 【变式】（2015春?聊城校级月考）已知下列结论： ①任何一个无理数都能用数轴上的点表示； ②每个实数都对应数轴上一个点； ③在数轴上的点只能表示无理数； ④有理数有无限个，无理数有有限个； ⑤无理数都是无限小数，不带根号的数不是无理数； ⑥﹣3是（﹣3）2的算术平方根． 其中正确的结论是（　　） 　 A．①② B． ①②⑥ C． ③④⑥ D． ②④⑤ 【答案】A． 解：①∵任何一个无理数都能用数轴上的点表示，∴①正确； ②∵实数和数轴上的点一一对应，∴每个实数都对应数轴上一个点，∴②正确； ③∵在数轴上的点既能表示无理数，又能表示有理数，∴在数轴上的点只能表示无理数这种说法不正确，∴③不正确； ④根据有理数、无理数的含义，可得有理数有无限个，无理数有无限个，∴④不正确； ⑤无理数都是无限小数，但是不带根号的数可能是无理数，例如：3.1415926535…不带根号，但是它是无理数，∴⑤不正确； ⑥∵3是（﹣3）2的算术平方根，∴⑥不正确． 综上，可得①②． 故选：A． 类型二、实数大小的比较 2、比较与的大小． 【思路点拨】根据，，则来比较两个实数的大小． 【答案与解析】 解：因为，． 所以＜ 【总结升华】实数的比较有多种方法，除了上述方法外，还有作差法、作商法、同分子法、倒数法等. 举一反三： 【高清课堂：389317 立方根 实数 ，例2】 【变式】解：已知实数、、在数轴上的对应点如图所示，试化简： ． 【答案】由图知，，． ∴ ，，，． ∴ ． 类型三、实数的运算 3、（2016?安徽模拟）在如图所示的数轴上，点C与点B关于点A对称，C、A两点对应的实数分别是和1，则点B对应的实数为　 　． 【思路点拨】根据中点的性质得到AC=AB，可得答案． 【答案与解析】 解：AC=﹣1， AB=1﹣（﹣1）=2﹣， 点B对应的数是2﹣． 【总结升华】本题考查了实数与数轴，利用AB=AC得出AB=1﹣（﹣1）是解题关键． 举一反三： 【高清课堂：389317 立方根 实数 ，例3】 【变式】若的两个平方根是方程的一组解． （1）求的值； （2）求的算术平方根． 【答案】 解：（1）∵ 的平方根是的一组解，则设的平方根为，， 则根据题意得：解得 ∴ 为． （2）∵ ． ∴ 的算术平方根为4． 类型四、实数的综合运用 【高清课堂：3893