《研究生数值分析-第6章 微分方程数值解法》.pptVIP

;§6.1 引 言;1、常微分方程与解;方程的通解;本教材重点讨论定解问题(初值问题）;2、数值解的思想; 求函数 y(x) 在一系列节点 a = x0 x1… xn= b 处的近似值 的方法称为微分方程的数值解法。;称 在区域D上对 满足Lipschitz条件是指:;(2) 一般构造方法： 离散点函数值集合 + 线性组合结构 → 近似公式;(3) 如何保证迭代公式的稳定性与收敛性?;二、初值问题解的存在唯一性;三、初值问题的离散化方法;§6.2 Euler方法; 18世纪最杰出的数学家之一，13岁时入读巴??尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。 1727年-1741年（20岁-34岁）在彼得堡科学院从事研究工作，在分析学、数论、力学方面均有出色成就，并应俄国政府要求，解决了不少地图学、造船业等实际问题。 24岁晋升物理学教授。 1735年（28岁）右眼失明。; 1741年 - 1766（34岁-59岁）任德国科学院物理数学所所长，任职25年。在行星运动、刚体运动、热力学、弹道学、人口学、微分方程、曲面微分几何等研究领域均有开创性的工作。 1766年应沙皇礼聘重回彼得堡，在1771年（64岁）左眼失明。 Euler是数学史上最多产的数学家，平均以每年800页的速度写出创造性论文。他去世后，人们用35年整理出他的研究成果74卷。 ;　　　在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提下，考虑的截断误差 Ri = y(xi+1) ? yi+1 称为局部截断误差 /* local truncation error */。;? 欧拉法的局部截断误差：;例1: 用欧拉公式求解初值问题; ;可用来检验近似解的准确程度。;3、 欧拉公式的改进：;由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式 /* implicit */ 欧拉公式，而前者称为显式 /* explicit */ 欧拉公式。;一般先用显式计算一个初值，再迭代求解。;? 梯形公式 /*trapezoid formula */;?中点欧拉公式 /* midpoint formula */;方 法;? 改进欧拉法 /* modified Euler’s method */;;注:此法亦称为预测-校正法 /* predictor-corrector method */;在实际计算时，可将欧拉法与梯形法则相结合， 计算公式为 ;改进欧拉法的截断误差;例2: ;改进的Euler法;通过计算结果的比较可以看出，改进的Euler方法;欧拉法误差概述;6.3 龙格—库塔方法;改进欧拉法;;; ;; ;三阶龙格-库塔方法;类似二阶龙格-库塔方法的推导过程，8 个待定系数 c1, c2, c3, a2, a3, b21, b31, b32 应满足： ;四阶Runge-Kutta方法;附注：;附注： ? 龙格-库塔法的主要运算在于计算 的值，即计算 的值。Butcher 于1965年给出了计算量与可达到的最高精度阶数的关系：;感谢您的听讲！;dsfdbsy384y982ythb3oibt4oy39y409705923y09y53b2lkboi2y58wy0ehtoibwoify98wy049ywh4b3oiut89u983yf9ivh98y98sv98hv98ys9f698y9v698yv98x98tb98fyd98gyd98h98ds98nt98d8genklgb4klebtlkb5k tkeirh893y89ey698vhkrne lkhgi8eyokbnkdhf98hodf hxvy78fd678t9fdu90gys98y9shihixyv78dfhvifndovhf9f8yv9onvkobkw kjfegiudsfdbsy384y982ythb3oibt4oy39y409705923y09y53b2lkboi2y58wy0ehtoibwoify98wy049ywh4b3oiut89u983yf9ivh98y98sv98hv98ys9f698y9v698yv98x98tb98fyd98gyd98h98ds98nt98d8genklgb4klebtlkb5k tkeirh893y89ey698vhkrne lkhgi8eyokbnkdhf98hodf hxvy78fd678t9fdu90gys98y9shihixyv78dfhvifndovhf9f8yv9onvkobkw kjfegiu dsfdbsy384y982ythb3oibt4oy39y4