步步高高中数学 必修 4 第一章 三角函数 章末复习课 Word版含答案 ].docVIP

PAGE PAGE 1 题型一　数形结合思想在三角函数中的应用 例1　已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A0，ω0，|φ|eq \f(π,2))在一个周期内的简图如图所示，求函数g(x)＝f(x)－lg x零点的个数． 解　显然A＝2. 由图象过(0,1)点，则f(0)＝1，即sin φ＝eq \f(1,2)， 又|φ|eq \f(π,2)，则φ＝eq \f(π,6). 又eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,12)，0))是图象上的点，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,12)))＝0， 即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,12)ω＋\f(π,6)))＝0，由图象可知，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,12)，0))是图象在y轴右侧部分与x轴的第二个交点．∴eq \f(11π,12)ω＋eq \f(π,6)＝2π. ∴ω＝2，因此所求函数的解析式为f(x)＝2sin(2x＋eq \f(π,6))． 以下，在同一坐标系中作函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))和函数y＝lg x的示意图如图所示： ∵f(x)的最 大值为2，令lg x＝2，得x＝100，令eq \f(11,12)π＋kπ100(k∈Z)，得k≤30(k∈Z)，而eq \f(11,12)π＋31π100，∴在区间(0,100]内有31个形如eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(11,12)π＋kπ，\f(17,12)π＋kπ))(k∈Z,0≤k≤30)的区间，在每个区间上y＝f(x)与y＝lg x的图象都有2个交点，故这两个函数图象在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(11π,12)，100))上有2×31＝62个交点，另外在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(11,12)π))上还有1个交点， ∴方程f(x)－lg x＝0共有实根63个． ∴函数g(x)＝f(x)－lg x共有63个零点． 反思与感悟　运用数形结合的思想化抽象为直观，使问题简单明了，数形结合在三角函数中有着广泛的应用． 跟踪训练1　若0xeq \f(π,2)，则2x与πsin x的大小关系是(　　) A．2xπsin x B．2xπsin x C．2x＝πsin x D．与x的取值有关 答案　B 解析　在同一坐标平面内作出函数y＝2x与函数y＝πsin x的图象，如图所示． 观察图象易知： 当x＝0时，2x＝πsin x＝0； 当x＝eq \f(π,2)时，2x＝πsin x＝π； 当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，函数y＝2x是直线段，而曲线y＝πsin x是上凸的．所以2xπsin x．故选B. 题型二　分类讨论思想在三角函数求值中的应用 例2　 已知cos θ＝m，|m|≤1，求sin θ、tan θ的值． 解　(1)当m＝0时，θ＝2kπ±eq \f(π,2)，k∈Z； 当θ＝2kπ＋eq \f(π,2)时，sin θ＝1，tan θ不存在； 当θ＝2kπ－eq \f(π,2)时，sin θ＝－1，tan θ不存在． (2)当m＝1时，θ＝2kπ，k∈Z，sin θ＝tan θ＝0. 当m＝－1时，θ＝2kπ＋π，k∈Z，sin θ＝tan θ＝0. (3)当θ在第一、二象限时， sin θ＝eq \r(1－m2)，tan θ＝eq \f(\r(1－m2),m). (4)当θ在第三、四象限时， sin θ＝－eq \r(1－m2)，tan θ＝－eq \f(\r(1－m2),m). 反思与感悟　已知角的 某一个三角函数值为字母时，注意对字母是否为0、±1及分象限作讨论，讨论标准要统一．在三角函数部分，有不少题目都涉及到分类讨论的思想． 跟踪训练2　函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin?πx2?，－1x0，,ex－1，x≥0.))若f(1)＋f(a)＝2，则a的值为(　　) A．1 B．1，－eq \f(\r(2),2) C．－eq \f(\r(2),2) D．1，eq \f(\r(2),2) 答案　B 解析　∵f(1)＝e1－1＝1，∴f(a)＝1. 当a≥0时，f(a)＝ea－1＝1， ∴a－1＝0，∴a＝1； 当－1a0时，f(a)＝sin(πa2)＝1， ∴πa2＝2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，∴a2＝2k＋eq \f