高数辅导之专题五：间断点.docVIP

PAGE PAGE 2 专题五 基础知识 如果在点处有下列三种情况之一，则点是的一个间断点： （1）在点处，没有定义 （2）不存在 （3）虽然存在，但 简单地说，不连续的点即为间断点。 间断点的分类： （1）左右极限都存在的间断点为第一类间断点，第一类间断点又可分为跳跃间断点（左右极限不等）和可去间断点（左右极限相等）。 （2）左右极限至少有一个不存在的间断点为第二类间断点。 例题 1. 是函数的 间断点。 解：在处没有定义，故是的间断点，且 从而是函数的跳跃间断点。 2. 是函数的 间断点。 解：在处没有定义，故是的间断点，且 从而是函数的跳跃间断点。 3. 函数的可去间断点为 。 解：在和1处没有定义，故0和1是的间断点，且是仅有的两个间断点（因为是一个初等函数，在它的定义域内都是连续的）。下面分别0和1的间断点类型： 从而是函数的可去间断点，是第二类间断点。 4. 函数的可去间断点为 。 解：在和1处没有定义，故0和1是的间断点，且是仅有的两个间断点。下面分别0和1的间断点类型： 从而是函数的可去间断点，是跳跃间断点。 5. 讨论函数的定义域、连续性，若有间断点，指出其分类。 解： 分三种情形说明： （1）当时， （2）当时， （3）当时， 亦即 故定义域为，为仅有的两个（跳跃）间断点，在其它点处连续。 习题 1. 讨论函数的定义域、连续性，若有间断点，指出其分类。 2. 讨论函数的定义域、连续性，若有间断点，指出其分类。 3. 设，则在内是 （ ） A．初等函数 B．处处有定义的函数 C．处处有极限的函数 D．处处连续的函数 4. 试确定常数，，使函数为连续函数。 努力就有收获!