《随机过程-第一章__概率预备知识》.ppt

复随机过程 (2) B(ti,tj)aiaj =E{ ( -m(ti))( -m(tj))aiaj} =E{[ ( -m(ti))ai][ ( -m(tj))aj]} =E| ( -m(ti))ai|2≥0. 例2.16 设复随机过程Zt= Xk ,t≥0,其中X1,X2,…, Xn是相互独立且服从N(0, )的随机变量, w1,w2,…,wn 是常数.求{Zt,t≥0}的均值函数m(t)和相关函数R(s,t). 解: m(t)=EZt=E[ Xk ]=0; R(s,t)=E(ZsZt)=E[ Xk Xk ] = E(XkXl ) = E( ) = . 复随机过程 两个复随机过程{Xt},{Yt}的互相关函数定义为 RXY(s,t)=E(XsYt). 两个复随机过程{Xt},{Yt}的互协方差函数定义为 BXY(s,t)=E[Xs-mX(s)][Ys-mY(s)]. 复随机变量Z1=X1+iY1,Z2=X2+iY2,…,Zn=Xn+iYn的相互独立性的定义是 如果二维实随机向量(X1,Y1),(X2,Y2),…,(Xn,Yn) 是相互独立的. 在1.1节中,我们已经按照参数空间,状态空间是离散的还是连续的对随机过程进行了分类.下一节讨论根据概率结构对随机过程的分类. 几种重要的随机过程 2.4 几种重要的随机过程 1.正交增量过程 定义2.6 设{X(t),t∈T}是零均值的二阶矩过程, 若对任 意的t1＜t2≤t3＜t4∈T,有 E[(X(t2)-X(t1))(X(t4)-X(t3))]=0(增量互不相关) 则称X(t)为正交增量过程. 重要事实: 正交增量过程{X(t),t∈T}的协方差函数可 由其方差函数确定. 证:不妨设T=[a,b]为有限区间,规定X(a)=0,取t1=a,t2=t3 =s,t4=b,则当a＜s＜t＜b时,有 E[X(s)(X(t)-X(s))]=E[(X(s)-X(a))(X(t)-X(s))]=0 故 BX(s,t)=RX(s,t)-mX(s)mX(t)=RX(s,t) (零均值) 几种重要的随机过程 =E[X(s)X(t)]=E[X(s)(X(t)-X(s)+X(s))] =E[X(s)(X(t)-X(s))]+E[X(s)X(s)]) =0+DX(s)=σX2(s). 同理,当a＜t＜s＜b时,有 BX(s,t)=RX(s,t)=σX2(t) 于是有BX(s,t)=RX(s,t)=σX2(min(s,t)). 2.独立增量过程 定义2.7 设{X(t),t∈T}是随机过程,若对任意的正整数n 和t1＜t2＜…＜tn∈T, 随机变量 X(t2)-X(t1),X(t3)- X(t2),…,X(tn)-X(tn-1)相互独立,则称{X(t),t∈T}是 独立增量过程(或可加过程). 几种重要的随机过程 独立增量过程的特点: 独立增量过程在任一个时间间隔上过程状态的改变,不 影响,所有与该时间间隔不相重叠的时间间隔上的状态改 变. 实际中:服务系统在某段时间间隔内的顾客数, 电话传 呼站电话的呼叫数等均可用这种过程来描述.因为在不相 重叠的时间间隔内,来到的顾客数、呼叫数都是相互独立 的. 独立增量过程与正交增量过程的区别: 正交增量过程与独立增量过程,都是通过不相重叠的时 间区间上增量的统计相依性来定义的,前者增量互不相关, 后者增量相互独立. 显然,正交增量过程不是独立增量过 几种重要的随机过程 程; 而独立增量过程只有在二阶矩存在,且均值函数恒为 零的条件下才是正交增量过程. 定义2.8 设{X(t),t∈T}是独立增量随机过程,若对任意s ＜t,随机变量X(t)-X(s)的分布仅依赖于t-s(只依赖于 时间差),则称{X(t),t∈T}是平稳独立增量过程. 例2.17 设{X(t),t≥0}表示电话交换台在[0,t)时间段接 到的呼叫次数,则{X(t),t≥0}是一随机过程.对于任意 的0≤t1＜t2＜…＜tn ,随机变量X(t2)-X(t1),X(t3)-X (t2),…,X(tn)-X(tn-1)分别表示在时间段[t1,t2),[t2, t3),…,[tn-1,tn)中电话交换台接到的呼叫次数, 它们 是相互独立的. 所以随机过程{X(t),t≥0}是一个独立 增量过程. 另外