二次函数应用题分类解析(教师版).docxVIP

-- ------------ 二次函数应用题分类解析 二次函数是初中学段的难点， 学生学起来觉的比较的吃力， 可以把应用问题进行分类： 第一类：利用待定系数法 对于题目明确给出两个变量间是二次函数关系，并且给出几对变量值，要求求出函数关系式，并进行简单的应用。解答的关键是熟练运用待定系数法，准确求出函数关系式。 例 1． 某公司生产的 A 种产品，它的成本是 2 元，售价是 3 元，年销售量为 100 万 件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。根据经验，每年投入的广告 费是 x（十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的 y 倍，且 y 是 x 的二次函数，它们 的关系如下表： x（十万元）  0  1  2  ? y  1  1.5 1.8 ? （ 1）求  y 与  x 的函数关系式； （ 2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润与广告费 x（十万元）的函数关系式；  S（十万元） 3）如果投入的年广告费为 10— 30 万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？ 析解：（ 1）因为题中给出了 y 是 x 的二次函数关系，所以用待定系数法即可求出 y y 1 x 2 3 x 1 与 x 的函数关系式为 10 5 （2）由题意得 S=10y(3-2)-xx 2 5x 10 S x 2 5x 10 (x 5 ) 2 65 （3）由（ 2） 2 4 及二次函数性质知， 当 1≤ x≤ 2.5 ， 即广告费在 10—25 万元之间时， S 随广告费的增大而增大。 二：分析数量关系型 题设结合实际情景给出了一定数与量的关系，要求在分析的基础上直接写出函数关系式，并进行应用。解答的关键是认真分析题意，正确写出数量关系式。 例 2． 某化工材料经销公司购进了一种化工原料共 7000 千克，购进价格为每 千克 30 元。物价部门规定其销售单价不得高于每千克 70 元，也不得低于 30 元。市 场调查发现：单价定为 70 元时，日均销售 60 千克；单价每降低 1 元，日均多售出 2 千克。在销售过程中，每天还要支出其它费用 500 元（天数不足一天时，按整天 计算）。设销售单价为 x 元，日均获利为 y 元。 （ 1）求 y 关于 x 的二次函数关系式，并注明 x 的取值范围； （ 2）将（ 1）中所求出的二次函数配方成 y a(x b ) 2 4ac b 2 2a 4a 的形式，写出顶点坐标； 在图 2 所示的坐标系中画出草图； 观察图象，指出单价定为多少元时日均获得最多，是多少？ 3）若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，哪一种获总利较多，多多少？ 析解：（ 1）若销售单价为 x 元，则每千克降低 （ 70-x ）元，日均多售出 2（ 70-x ） 千克，日均销售量为 [60+2(70-x)] 千克，每千克获利为 (x-30) 元。根据题意得 y (x 30)[ 60 2(70 x)] 500 2x 2 260x 6500 （ 30≤ x≤ 70）。 y 2(x 2 130x ) 6500 2( x 65)2 1950 。顶点坐标为 （ 65，1950）， （2） 草图略，当单价定为 65 元时，日均获利最多，是 1950 元。 （ 3）列式计算得，当日均获利最多时，可获总利 195000 元；当销售单价最 高时，可获总利 221500 元。故当销售单价最高时获总利较多，且多获利 221500-195000=26500 元。 三：建模型 即要求自主构造二次函数，利用二次函数的图象、性质等解决实际问题。这类问题建模要求高，有一定难度。 例 3． 如图 4，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状， MN=4dm，抛物线顶点处到边 MN的距离是 4dm，要在铁皮上截下一矩形 ABCD，使矩形顶点 B、C落在边上，A、D落在抛物线上， 问这样截下去的矩形铁皮的周长能否等于 8dm？  MN 析解： 由“抛物线”联想到二次函数。如图 4，以  MN所在的直线 为 x 轴，点 M为原点建立直角坐标系。 设抛物线的顶点为 P，则 M（ 0， 0），N（ 4，0），P（ 2，4）。用待定系数法求得抛物线的解析式为 y x 2 4x 。 设 A 点坐标为（ x， y），则 AD=BC=2x-4， AB=CD=y。于是 l 2AB 2AD 2y 2( 2x 4) 2( x 2 4x ) 2( 2x 4) 2x 2 12x l 2AB 2AD 2y 2(2x 4) 2( x 2 4x) 2(2x 4) 2x 2 12x 8 。且 x