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作业 P 96 习题: 10　 11 * §3.3 超松弛法 定理3.1 定理3.2 下列三个命题等价 如果该修正量乘上一个因子 ,则有迭代式: 高斯—塞德尔迭代法是 在 的基础上 加上一个修正量,即 时,低(亚)松弛,可使不收敛的迭代收敛; — 松弛因子, =1 ,正好松弛即Seidel方法 时,超松弛,可使迭代的收敛速度加快. 统称超松弛 将上式改为 若 超松弛法的矩阵形式为 则超松弛迭代法的迭代矩阵为 超松弛迭代法收敛的充要条件是 定理3.4 SOR方法对任意 都收敛的必要条件是 证明 设 为 的特征值,则 要使超松弛迭代法收敛,必须 定理3.5 若系数矩阵A实对称正定，则超松弛迭代 法对任意 都收敛的充要条件是： 推论 若系数矩阵A 对称正定，则线性方程组的 Seidel迭代法对任意 收敛。 （证略） 最佳松弛因子 选取问题: 取何值时,收敛速度最快? 例 用SOR 方法解方程组 解 精确解 取初始向量 SOR 迭代公式： (1) 取松弛因子 计算结果为： 且 迭代次数 k=11 当取 时，初始向量相同，达到同样精度所需要迭代次数 k=22. 当取 时，初始向量相同，达到同样精度，则需要迭代k=33次。 对于此例，最佳松弛因子 ， 即达到同样精度所需迭代次数最少。 由此可知，用SOR 方法解线性方程组时，松弛 因子选择得当，常会使 S O R迭代收敛加速。 (3) 松弛迭代矩阵 的谱半径 定理3.9 若系数矩阵A是三对角对称正定矩阵，有 最佳松弛因子 选取问题,通常是选取不同的 ,根据迭代过程收敛的快慢,不断修改 , 直到满意为止. (2) 最佳松弛因子 (例题见教材P90页) 系数矩阵非奇异时直接法可求解； 迭代法要求aii求不为零。 非零元素分布不规则，阶数很高时,直接法求解时存储困难;舍入误差积累,是近似解，答案不可靠，直接法主要求解阶数不很高的线性方程组. 迭代法 按某种规则产生近似解序列{x(k)} ， 使其极限逼近精确解(好坏主要集中体现在此迭 代序列的收敛速度上)算法简单，因而编程比较 容易. 舍入误差仅积累了最后迭代的误差 缺点: 要求方程组的系数矩阵具有某种特殊 性质，以保证迭代过程的收敛性(收敛速度) Please give me a moment! * *