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工程电磁场数值分析（有限元法） 华中科技大学电机与控制工程系 陈德智 2007.12 第4章 电磁场有限元法（Finite Element Method, FEM） 第4章 电磁场有限元法（FEM） 有限元的基本原理与实施步骤 有限元方程组的求解 前处理与后处理技术 渐近边界条件 矢量有限元法 求解运动导体涡流问题的迎风有限元法 1. 有限元法的基本原理与实施步骤 场域离散 以二维静电场泊松方程的求解为例。二维问题常使用三角形单元离散，便于处理复杂的场域形状，容易实现。 以下把单元e的贡献记为 单元分析：计算单元内积分对系数阵和右端项元素的贡献。 故 ， 写成一般形式，若一个三角形三个顶点编号为i, j, m（逆时针顺序），则 由于单元很小，做单元分析时通常可以取 f (e) 为常数值（可以认为等于三个顶点上的平均值）。因此 通过上述过程，对于一个“正常”的内部节点就建立起了一个代数方程。“非正常”的节点包括：媒质交界面衔接条件和场域边界条件，稍后再讨论。 上述以节点为序的分析过程对于有限元原理的说明是易于理解的。而在实际编程中，更有效率的是以单元为序，逐个计算单元系数阵[K(e)]，然后合成整体系数阵[K]。单元系数阵[K(e)]定义为 设i, j, k是节点的整体编号，元素Kij在整体矩阵中的实际位置是第i行、j列；因此 必须合成到整体矩阵的第i行、j列元素上。 对于静电场问题，媒质分界面衔接条件为 由于有限元方法能够自动满足媒质交界面条件，因此有限元法特别适合于处理多层复杂媒质问题。这是其它方法无可比拟的。 有限元方法的推导过程虽然看起来有些复杂，但是最终结果是非常简单而且优美的。因为边界条件的处理和媒质交界面条件的处理都非常方便，使得有限元方法在处理复杂媒质问题和复杂场域问题时得心应手，获得了广泛的应用，称为最重要的数值分析手段。有人用“功盖四方”来形容有限元，实不为过。 中国人在有限元的发明中有自己独特的贡献。 作业： （1）研究方向为数值计算的同学： 编写一个二维静电场有限元程序，计算右图所示问题，或其它自己找一个问题。 2. 有限元方程组的求解 稀疏矩阵技术 ICCG法 3. 有限元的前处理与后处理技术 建模 自动剖分技术 误差估计，h方法与p方法 可视化问题：等位线与电力线 电场力的计算 电容、电感与电阻 4. 渐近边界条件 场域的封闭 渐近边界条件 5. 矢量有限元方法 节点元存在的问题 矢量有限元 6. 运动导体的涡流问题（迎风有限元） 速度效应产生的问题 迎风法 * * 有限元法可以基于变分原理导出，也可以基于加权余量法导出，本章以加权余量法作为有限元法的基础，以静电场问题的求解为例介绍有限元法的基本原理与实施步骤。并介绍有限元法中的一些特殊问题。 在有限元法中，基函数一般用 表示。采用Galerkin方案，取权函数与基函数相同。使与余量正交化： 加权余量法回顾： 对算子方程 用 作为该方程的近似解（试探解）： 代入方程得余量： 设L为线性算子，代入 ，得 或 记 得代数方程组： 加权余量法回顾（续） 单元：互不重叠，覆盖全部场域；每个单元内介质是 单一、均匀的。 节点：网格的交点，待求变量的设置点。 需要记录信息： 节点编号、节点坐标 节点属性(激励源、是否边界等) 单元编号 单元节点编号 单元介质 目标：建立节点变量之间满足的代数方程组，即确定系数{Kij} 和{bi}。依据的原理是加权余量法使用的基函数为分域基。 基函数 有限元采用分片逼近的思想，跟使用折线逼近一条任意曲线的做法相同。使用分域基Ni，基函数的个数等于节点的个数；每个基函数Ni的作用区域是与该节点i相关联的所有单元。 在积分 中，对于确定的 i，j的有效取值为i本身以及与节点i相联的周围节点，积分的有效区域为以i、j为公共节点的所有三角形单元 ，在这些单元中Ni、Nj才有交叠。 这些积分可以分单元进行。例如对右图所示的局部编码，K01、K00以及b0的计算公式为： 这样，就有 每个 或 的计算都在具体的单元内单独考虑（称为单元分析）。 三角形单元内的基函数 设三角形三个顶点处待求函数值分别为u1, u2, u3。如果单元足够小，可以采用线性近似，将单元内任意p点的u(x,y)表示为