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第四章 特瓦尔特定理及应用 【基础知识】 斯特瓦尔特定理 设 P 为 △ ABC 的 BC 边上任一点（ P B ， P C ），则有 2 2 2 AB PC AC BP AP BC BP PC BC ① 2 2 P C 2 B P 2 B P P C 或 A P A B A C B C ． ② B C B C B C B C 证明 如图 4-1 ，不失一般性，不妨设 ∠APC 90 ，则由余弦定理，有 A B P C 图4 1 2 2 2 AC AP PC 2AP PC cos∠APC ， 2 2 2 AB AP BP 2AP BP cos(180 ∠APC ) 2 2 AP BP 2AP BP cos∠APC ． 对上述两式分别乘以 BP ， PC 后相加整理，得①式或②式． 斯特瓦尔特定理的逆定理 设 B ， P ， C 依次分别为从 A 点引出的三条射线 AB ， AP ， AC 上的点， 若 2 2 AB PC AC BP AP BC BP PC BC ， 2 2 P C 2 B P 2 B P P C 或 A P A B A C B C ， B C B C B C B C 则 B ， P ， C 三点共线． 证明 令 ∠BPA 1 ， ∠APC 2 ，对 △ ABP 和 △ APC 分别应用余弦定理，有 2 2 2 2 2 2 AB AP PB 2AP PB cos 1 ， AC AP PC 2AP PC cos 2 ． 将上述两式分别乘以 PC ， BP 后相加，再与已知条件式相比较得 2AP BP PC cos 1 cos 2 0 ，由此推出 1 180 2 ，即证． 斯特瓦尔特定理的推广 （1）设 P 为 △ABC 的 BC边延长线上任一点，则 2 2 PC 2 BP 2 PC BP AP AB AC BC ． ③ BC BC BC BC （2 ）设 P 为 △ABC 的 BC 边反向延长线上任一点，则 2 2 PC 2 BP 2 PC BP AP AB AC BC ． ④ BC BC BC BC 注 若用有向线段表示，则②，③，④式是一致的． 推论 1 设 P 为等腰 △ABC 的底边 BC 上任一点，则 AP 2 AB 2 BP PC ． 注 此推论也可视为以 A 为圆心， AB 为半径的圆中的圆幂定理．