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高一数学培优之集合 PAGE 第 第 1 - 页 共 NUMPAGES 10 页 第一章 集合 §1.1 集合的概念与运算 1.集合的运算性质 (1),(幂等律);(2), (交换律); (3), (结合律); (4),(分配律); (5),(吸收律);(6)(对合律); (7), (摩根律) (8),. 2. 一般地，对任意两个有限集合A、B，有 我们还可将之推广为：一般地，对任意n个有限集合有 【例1】已知 【思路分析】先进一步确定集合A、B. 【略解】又 ∴A= 【例2】设集合则在下列关系中，成立的是 （ ） A． B． C． D． 【思路分析】应注意数的特征，即 【解法1】∵ ∴.故应选C. 【解法2】如果把A、B、C、D与角的集合相对应，令 结论仍然不变，显然A′为终边在坐标轴上的角的集合，B′为终边在x轴上的角的集 合，C′为终边在y轴上的角的集合，D′为终边在y轴上及在直线上的角的集合，故应选（C）. 【例3】设有集合（其中[x]表示不超过实数x之值的最大整数）. 【思路分析】应首先确定集合A与B.从而 ∴ 若 从而得出 于是 【评述】此题中集合B中元素x满足“|x|3”时，会出现什么样的结果，读者试解之. 【例4】设，求证： （1）；（2）；（3）若，则 [证明]（1）因为，且，所以 （2）假设，则存在，使，由于和有相同的奇偶性，所以是奇数或4的倍数，不可能等于，假设不成立，所以 （3）设，则 （因为）。 【例5】 设A，B是两个集合，又设集合M满足 ，求集合M（用A，B表示）。 〖分析〗利用子集的定义证明集合相等，先证，再证，则A=B。 【解】先证，若，因为，所以，所以； 再证，若，则1）若，则；2）若，则。所以 综上， 【例6】，若，求 〖分析〗分类讨论思想的应用 【解】依题设，，再由解得或， 因为，所以，所以，所以或2，所以或3。 因为，所以，若，则，即，若，则或，解得 综上所述，或；或。 【例7】在集合中,任意取出一个子集,计算它的各元素之和.则所有子集的元素之和是 . 〖分析〗已知的所有的子集共有个.而对于,显然中包含的子集与集合的子集个数相等.这就说明在集合的所有子集中一共出现次,即对所有的求和,可得 【解】集合的所有子集的元素之和为= 〖说明〗本题的关键在于得出中包含的子集与集合的子集个数相等.这种一一对应的方法在集合问题以及以后的组合总是中应用非常广泛. 【例8】已知集合且,求参数的取值范围. 〖分析〗首先确定集合A、B,再利用的关系进行分类讨论. 【解】由已知易求得 当时,,由知无解; 当时,,显然无解; 当时, ,由解得 综上知,参数的取值范围是. 〖说明〗本题中,集合的定义是一个二次三项式,那么寻于集合B要分类讨论使其取值范围数字化,才能通过条件求出参数的取值范围. 【例9】已知,集合.若,则的值是( ) A.5 B.4 C.25 D.10 【解】,,且及集合中元素的互异性知 ,即,此时应有 而,从而在集合B中, 由,得 由(2)(3)解得,代入(1)式知也满足(1)式. 〖说明〗本题主要考查集合相等的的概念,如果两个集合中的元素个数相等,那么两个集合中对应的元素应分别相等才能保证两个集合相等.而找到这种对应关系往往是解决此类题目的关键. 【例10】已知集合.若,求……+的值. 〖分析〗从集合A=B的关系入手,则易于解决. 【解】,,根据元素的互异性,由B知. 且,,故只有,从而又由及,得 所以或,其中与元素的互异性矛盾!所以代入得: ……+=()+2+()+2+……+()+2=0. 〖说明〗本题是例4的拓展,也是考查集合相等的概念,所不同的是本题利用的是集合相等的必要条件,即两个集合相等,则两个集合中,各元素之和、各元素之积及元素个数相等.这是解决本题的关键. 【例11】已知集合,若,求实数的取值组成的集合A. 【解】,设. = 1 \* GB3 ①当,即时,,满足; = 2 \* GB3 ②当,即或时, 若,则,不满足,故舍去; 若时,则,满足. = 3 \* GB3 ③当时,满足等价于方程的根介于1和2之间. 即. 综合 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ② = 3 \* GB3 ③得,即所求集合A. 〖说明〗先讨论特殊情形(S=),再讨论一般情形.解决本题的关键在于对分类讨论,确定的取值范围.本题可以利用数形结合的方法讨论 【例12】已知集合,,其中, .若,.且中的所有元素之和为124,求集合A、B. 【解】,且,,又,所以 又,可得,