高数教案_函数极限.doc

课 题: 函数极限 目的要求： 了解,时函数有极限的概念 掌握函数极限的充要条件 掌握函数极限的性质 进一步掌握极限的定义 教学重点： 函数极限定义与应用 教学难点： 函数极限定义与应用 教学课时：2 教学方法： 讲练结合 教学内容与步骤： 前面讨论了数列xn=f (n)的极限, 它是函数极限中的特殊情形, 特殊性在于: n只取自然数, 且n趋于无穷大.现在讨论y=f (x)的极限, 自变量x大致有两种变化形式. (1) x?￥, (2) x?x0 (有限数). 并且, x不是离散变化的, 而是连续变化的. 一，时函数的极限 时或时函数的极限： 设f (x)在(M, +￥) （或(-,￥-M))内有定义, 若e 0, $X 0, 当xX (或x-X)时, 相应的函数值f (x)满足| f (x)-a |e.则称常数a为f (x)当x?+￥（或x?-￥）时的极限, 记作： 也可记为 f (x)?a, (x?+￥) 也可记为 f (x)?a, (x?-￥) 此时也称当x?+￥(x?–￥)时, f (x)的极限存在. 否则, 称它的极限不存在 函数极限 ：：若e 0, $X 0, 当xX (或x-X) 时, 有|f (x)-a |e. 数列极限：：若e 0, $正整数N, 使得当nN 时, 都有|xn-a|e, 注：将这个定义和数列极限定义相比较, 就是将xn=f (n)换成了f (x). 将“ $正整数N”换成“ $实数X 0”.但是, 数列极限中n是离散变化的, 而这里x是连续变化的. 例： 由图可知： ；． 类似于：1/N-0(N?-∞) 由图可知 ． 例， 证明： 证： 由于 ，故 ，要使 ，只要 ，即，因此，, 可取 ，则当xX时， ，故由定义得： 练习：证明： 注：xlg，可取X= |lg|+1，当x-X时，满足极限定义。 定义 设函数在时有定义( M为某个正实数)，，当时，相应的函数值满足，则称a为 f (x)当x￥?时的极限,记为或. 几何意义： 时： 直观地,该极限表示当自变量 x 无限增大时, 曲线 y = f (x)上的对应点的纵坐标f (x)会无限接近于数a. 从而曲线 y = f (x)会越来越贴近直线 y=a . 即, 当x无限增大时, 曲线 y = f (x)以直线 y=a为渐近线 极限定义： ：任作直线 y = a±e. (e 0), 都存在X 0. 当 x X 时, 函数 y = f (x)的图形夹在这两直线之间. 时： 按定义,作直线 y = a±e. (e 0), 存在X 0. 当 | x | X 时, y = f (x)的图形夹在两直线y = a±e 之间. 由定义1，2，3知： 定理1 的充要条件是=． 练习：证 解：方法一,=， 方法二，，要使|1/x|,只要|x|1/，取X=1/即可 练习：证明 二，时函数的极限 引例 从函数图形特征观察函数的极限 如上图左：当时，无限接