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椭球面 双曲面 抛物面§7.9 二次曲面 三元二次方程所表示的曲面称着二次曲面。相应地，将平面叫做一次曲面。 一般的三元方程所表示的曲面形状，已难以用描点法得到，那未怎样了解它的形状呢? 利用坐标面或用平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线( 即截痕 )的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌，这种方法叫做截痕法。 下面，我们用截痕法来讨论几个特殊的二次曲面。 一、椭球面 由方程 (1) 所表示的曲面叫做椭球面。 1、由(1)可知： 这表明：椭球面(1)完全包含在以原点为中心的长方体内，这长方体的六个面的方程为 其中常数 叫做椭球面的半轴。 2、为了进一步了解这一曲面的形状， 先求出它与三个坐标面的交线 这些交线都是椭圆。 3、用平行于坐标面的平面去截椭球面，其截痕(即交线)为 这是位于平面 内的椭圆，它的两个半轴分别等于 与，其椭圆中心均在轴上，当由渐增大到时， 椭圆的截面由大到小，最后缩成一点。 4、以平面 或 去截椭球面分别可得与上述类似的结果。 综上讨论知：椭球面(1)的形状如图所示。 5、特别地，若，而，则 (1) 变为 这一曲面是坐标面上的椭圆 绕轴旋转而成的旋转曲面，因此，称此曲面为旋转椭球面。 它与一般椭球面不同之处在于 如用平面与旋转椭球面相截时，所得的截痕是圆心在轴上的圆 其半径为。 6、若 ，那未(1)变成 这是球心在原点，半径为的球面。 二、抛物面 由方程 (2) 所表示的曲面叫做椭圆抛物面。 设， 用截痕法来考察它的形状 1、用坐标面与该曲面相截，其截痕为 2、用平行于坐标面的平面与该曲面相截，所得截痕为 这是中心在轴， 半轴分别为与 的椭圆。 另外，平面与该曲面不相交，因此，原点是该曲面的顶点。 3、用坐标面与该曲面相截， 其截痕为 这是一条抛物线，它的轴与轴相重合，顶点为。 用平行于坐标面的平面与该曲面相截，其截痕为 这是一条抛物线，它的轴平行于轴， 顶点为。 4、类似地， 用坐标面以及平行于面的平面去截该曲面时， 其截痕也是抛物线。 综上所述，方程(2)所表示的曲面形状如下 特别地，如果，那么方程(2)变为 这一曲面可看成是面上的抛物线 绕轴旋转而成的旋转曲面，这曲面叫做旋转抛物面。 由方程 所表示的曲面叫做双曲抛物面或马鞍面。 当 时，它的形状如下图所示 点称之为鞍点。 三、双曲面 由方程 (3) 所表示的曲面叫做单叶双曲面。 下面用截痕法来考察它的形状 1、用坐标面与该曲面相截，其截痕为 这是一个中心在原点，且半轴分别为与的椭圆。 2、用平行于面的平面去截曲面，其截痕为 它是中心在轴上，两个半轴分别为与的椭圆。 3、用坐标面与该曲面相截， 其截痕为 它是中心在原点，实轴为轴，虚轴为轴的双曲线。 4、用平行于面的平面去截曲面，其截痕为 它是中心在轴，两个半轴的平方为与的双曲线。 如果，那么双曲线的实轴平行于轴，虚轴平行于轴。 如果，那么双曲线的实轴平行于轴，虚轴平行于轴。 如果，那么平面去截曲面所得截痕为一对相交于点的直线，它们是 如果，那么平面去截曲面所得截痕为一对相交于点的直线，它们是 5、类似地，用坐标面和平行于面的平面去截曲面， 所得的截痕也是双曲线，而用平面去截曲面，其截痕曲线为两对相交的直线。 综上所述， 单叶双曲面的形状如下 由方程 (4) 所表示的曲面叫做双叶双曲面。利用截痕法可以判定出它的形状为