线性方程组关于交通流量应用实例分析论文.docVIP

PAGE PAGE 1 线性方程组关于交通流量的应用实例分析 【摘要】通过对福州某地段单行道交通网络实地调查，利用线性方程组分析其交通流量特性，借助Matlab计算工具提出了可变车道的设计方案，以求达到缓解该地段交通拥挤状况的目的. 【关键词】线性方程组；交通流；Matlab 引言 线性代数是代数的一个主要分支，以向量空间与线性变换为研究对象，就其在数学、物理学以及经济学等分支的应用来说，线性代数的离化思想具有非常特殊的作用，为此也成为作为大学生的我们必修的公共基础课之一. 在现代大量的科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组. 因此在线性方程组的数值解法得到发展的同时，线性方程组解的结构等理论性工作也取得了令人满意的进展. 现在，线性方程组的数值解法在计算数学中占有重要地位. 因此如何去解线性方程组，怎么去运用线性方程组成为了我们线性代数的学习基础. 科学在发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具，就线性代数的思想而言，也十分适应于计算机的编程等方面，就产生了用Matlab来解决线性代数问题的思想，它与线性代数有着紧密的联系. 线性方程组是线性代数最基本的内容之一，而经常见到的就是求解线性方程组，早在中国古代的数学著作《九章算术 方程》章中已作了比较完整的论述. 其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵施行初等行变换从而消去未知量的方法，即高斯消元法. 在西方，线性方程组的研究是在 17 世纪后期由莱布尼茨开创的.他曾研究含两个未知量的三个线性方程组组成的方程组. 麦克劳林在 18 世纪上半叶研究了具有二、三、四个未知量的线性方程组，得到了现在称为克莱姆法则的结果. 克莱姆不久也发表了这个法则. 18世纪下半叶，法国数学家贝祖对线性方程组理论进行了一系列研究，证明了 元齐次线性方程组有非零解的条件是系数行列式等于零； 19 世纪，英国数学家 史密斯 (H.Smith) 和道奇森 (C-L.Dodgson) 继续研究线性方程组理论，前者引进了方程组的增广矩阵和非增广矩阵的概念，后者证明了个未知数个方程的方程组相容的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相同，这正是现代方程组理论中的重要结果之一. [6] 在行车道上经常会出现塞车的现象，在城市的车流高峰期尤为常见. 以单行道为例，在得知交通网络的车辆流向的前提下，经过对交通网络各个路口的交通流量的实际交通调查，统计出主要进出口的车辆总数大致相同的情况下，可以得出交通网络的平衡方程组，通过对线性方程组的解得分析，得出该交通网络的交通网络在某一段时间的车况受哪些车道路况影响，本文在以上条件下，提供了一种利用线性方程组来研究单行道路况的方法，也就是在列出交通网络的平衡方程通时，基于Matlab计算工具分析网络平衡方程的解，在得出问题车道后，提出了在拥堵的车道设计可控制的变向车道，以求缓解交通拥挤的状况，虽然未经实践实用，但具有一定的应用价值. 1.基本概念与结论 本节主要介绍线性方程组的一些基本概念与结论，以便后文使用. 定理1.1[3] 元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是其系数矩阵的秩 且其通解式中带有个任意参数; 只有零解的充分必要条件是. 定理1.2[3] 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是；它只有零解的 充分必要条件是. 定理1.3[3] 元非齐次线性方程组有解的充分必要条件是其系数矩阵的秩等于增 广矩阵的秩. 定理1.4[1] 对于元非齐次线性方程组有如下结论： (1) 当时，方程组有解.这时， 若，则方程组有唯一解 若，则方程组有无限多个解，且其通解式中带有个任意参数. (2) 当时，方程组无解. 由于下文用到Matlab来解线性方程组的，有必要说明一下几个命令： 计算矩阵的秩——命令：rank（矩阵）； 化矩阵为行阶梯形求解线性方程组——命令：rref（矩阵） 例 求解线性方程组 具体操作： A=[1 -1 -1 1;1 -1 1 -3;1 -1 -2 3] A = 1 -1 -1 1 1 -1 1 -3 1 -1 -2 3 rref(A) ans = 1 -1 0 -1 0 0 1 -2 0 0 0 0 即得与原方程组同解的方程组： 令，可得通解为 其中为任意常数 2. 交通流量应用分析 汽车在道路上连续行驶形成的车流，我们