第四章平面问题的极坐标解答.ppt

第四章 平面问题极坐标解法 §4-1 极坐标中的基本方程与边界条件 §4-2 极坐标中的应力函数 相容方程 §4-3 应力轴对称问题及其相应的位移 §4-4 圆环或圆筒问题 §4-5 曲梁的纯弯曲 §4-6 含小圆孔平板的拉伸 §4-7 楔形体在楔顶或楔面受力 §4-8 轴对称问题的位移解法 图4-17 代入相容方程并化简，可得 求解可得 （12） 应力分量为 边界条件： （14） 将应力表达式代入上面边界条件，可求解得到A、 B、C、D四个待定常数，代回应力表达式（13）， 即可得到应力解答 4. 半平面体边界上受法向压力 对于楔顶受集中力P的问题，令 则问题就变为一个半平面体受法向集中荷载问 题，这就是著名的符拉芒（Flamant）问题， 如图（4-18）所示. 则应力分量为： （4-25） 图4-18 利用坐标变换式（见§5-1（5-3?）式或者习题 （4-2）），可得直角坐标系下的分量形式 : （4-25?） 第二组面力所对应的问题较为复杂，可从其所 受面力分析入手。在外边界上边界条件为： 在内边界上，无外力作用，边界条件为： （4（a）） （4（b）） 由应力函数与应力分量的关系： （4-8） 可以看出，要满足外边界条件（4(a)），则应力 函数? 中应当含有 因子。而从内边界到 外边界 和 都是变化的，即 与r 有关，? 是r 的函数，由此可假设，应力函数： 必须满足相容方程，则： （5） 这是欧拉型常微分方程，求解可得 （6） 将应力函数（6）代入（4-8）得应力分量： 代入边界条件（4）得方程： （7） 由此解得： 在求解过程中，应用了 将系数A、B、C、D代回（7）式得 （8） （4-21） 根据叠加原理，将与两组面力相对应的两组解答 （3）和（8）相加，即得到问题的解答： 环向应力分量的分布特点： 沿孔边周向： 由以上分析可见，最大环向应力发生在孔的边 缘处，其值为3q，随着距孔边距离的增大， 环向应力迅速衰减至无孔状态时的应力q， 这一现象即是孔边应力集中现象。 孔边应力集中现象是一种局部现象，在约5倍 于孔边距离时，该处的应力已不受孔的影响，这也 从数值上验证了圣维南原理。 利用上述结果，通过叠加原理，可以得到 等值或不等值拉压、纯剪切、孔边均匀压 力等含小孔平板的应力解答。 §4-7 楔形体在楔顶或楔面受力 1. 顶端受集中力P的问题(图4-15) 取图示坐标系，P是任意集中力，它与楔体 中心线夹角为?，楔顶角为?。 下面采用半逆解法求解 用量纲分析方法来寻求问题的应力函数。描述 问题的物理、几何参数有P、?、?、r、? ，其 中，P是单位厚度上的力(由平面问题的载荷特 性)，量纲是[力][长度]-1，?、?、?为无量纲量，r的量纲是[长度]。显然，应力分量的表达式是由P、?、?、r、? 构成，而应力的量纲是[力][长度]-2 故从量纲上看，应力分量在形式上应为 其中，F 为无量纲函数。我们注意到应力分 量与应力函数的关系（4-8），应力函数? 在r 的幂次上应比应力分量高两次，即 由上式，可以假设 （1） 代入相容方程得： （2） 化简后得： 这是一个常系数常微分方程，其解为 于是： （3） 由此，得各应力分量： 边界条件: (ⅰ)侧面边界 已自动满足 在顶端，受一集中力作用，应力很大，要超过弹性极限，因此必须考虑O点附近以外的区域。为此，取以楔顶为圆心，r为半径的扇形体，如图4-15（b）所示，由该扇形块的平衡得出由力的边界条件转换而来的平衡条件： (ⅱ)平衡条件： 将 代入上式: 求解后，可得 应力分量 这个解答称为密切尔解答。 2. 楔块顶端受一集中力偶M的问题（图4-16）。 从量纲的角度，应力的形式应为 应力函数在r 的幂次上比应力高两次，故有形式: 由此，可假设应力函数: 图4-16 将上式代入相容方程得: 化简可得 求解可得: （6） 该问题是一个反对称问题，即 是关于 ?的奇函数， 是关于?的偶函数，由应力分量 与应力函数的关系可知，? 应是?的奇函数，故 A = 0 D = 0 应力分量: （7） 式中待定系数B、C由边界条件确定。 (ⅰ)左右两边界上: （8） 显然，第一式已自动满足。由第二式得: （9） (ⅱ)由扇形体的力矩平衡 （10） 此即集中力矩M转化以后的边界条件。 将表达式（7(c)）代入上式，积分后得 将B，C代回式（7），即得英格立