静态场及其边值问题的解.pptVIP

第6章 静态场边值问题的解;6.1 边值问题的类型 ; 自然边界条件 （无界空间）;例：; 在场域V 的边界面S上给定 或 的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V 具有唯一值。 ;　唯一性定理的证明;由格林第一恒等式; 本节内容 6.3.1 镜像法的基本原理 6.3.2 接地导体平面的镜像 6.3.3 点电荷与无限大电介质平面的镜像 6.3.4 线电流与无限大磁介质平面的镜像 6.3.5 导体球面的镜像 6.3.6 导体圆柱面的镜像;;　 接地导体球附近有一个点电荷，如图。;2. 镜像法的原理;3. 镜像法的理论基础—— 解的唯一性定理; 像电荷的个数、位置及其电量大小——“三要素” 。;1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像;上半空间( z≥0 ）的电位函数;2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像;例6-7 一水平架设的双线传输线，距地面的高度为h，两线间的距 离为d，导线的半径为a，如图所示。求双线传输线单位长度的 电容。设da,ha。;3. 点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像; 例6.3.1 一个点电荷q与无限大导体平面距离为d，如果把它移至无穷远处，需要做多少功？;6.3.3 点电荷与无限大电介质平面的镜像 ;介质1中的电位为;可得到;图1 线电流与磁介质分界平面; 因为电流沿 y 轴方向流动，所以矢量磁位只有y 分量，则磁介质1和磁介质2中任一点的矢量磁位分别为;相应的磁场可由 求得。;6.3.5 导体球面的镜像; 令r＝a，由球面上电位为零， 即? ＝0，得;由以上两方程解得;可见，导体球面上的总感应电荷也与所设置的镜像电荷相等。;　点电荷对接地空心导体球壳的镜像;球壳内的电位;2 . 点电荷对不接地导体球的镜像; 然后断开接地线，并将电荷－q加于导体球上，从而使总电荷为零。为保持导体球面为等位面，所加的电荷－q 可用一个位于球心的镜像电荷q来替代，即;6.3.6 导体圆柱面的镜像;由于导体圆柱接地，所以当 时，电位应为零，即 ;导体圆柱面外的电位函数：;2. 两平行圆柱导体的电轴;图2 两平行圆柱导体的电轴;6.4 分离变量法 ; 将偏微分方程中含有n个自变量的待求函数表示成n??各自只含一个变量的函数的乘积，把偏微分方程分解成n个常微分方程，求出各常微分方程的通解后，把它们线性叠加起来，得到级数形式解，并利用给定的边界条件确定待定常数。;在直角坐标系中，若位函数与z 无关，则拉普拉斯方程为; 若取λ＝－k2 ，则有;将所有可能的 ? (x, y)线性叠加起来，则得到位函数的通解，即; 例6.4.1 无限长的矩形金属导体槽上有一盖板，盖板与金属槽绝缘，盖板电位为U0，金属槽接地，横截面如图所示，试计算此导体槽内的电位分布。;确定待定系数;将U0 在（0, a）上按 展开为傅里叶级数，即;由;6.4.3 圆柱坐标系中的分离变量法 ;当n = 0时 ; 解 选取圆柱坐标系，令 z 轴为圆柱轴线，电场强度的方向与x 轴一致，即 ;① 由于圆柱表面电场强度的切向分量为零，即 ;代入前式，求得柱外电位分布函数为 ;6.4.4 球坐标系中的分离变量法 ;上式中第一项仅为 r 的函数，第二项与 r 无关。因此，与前同理第一项应为常数。为了便于进一步求解，令 ; 根据第二类连带勒让德函数的特性知，当 时， 因此，当场存在的区域包括 或 ? 时， ，此时只能取第一类连带勒让德函数作为方程的解。所以，通常令; 例 6.4.3 ???半径为a、介电常数为? 的介质球放在无限大的真空中，受到其中均匀电场 E0 的作用，如 图所示。试求介质球内的电场强度。 ;球内外电位函数应该满足下列边界条件： ;考虑到边界条件①，系数 Dn 应为零，即; 由于上两式对于所有的 ? 值均应满足，因此等式两边对应的各项系数应该相等。由此获知各系数分别为 ;值得注意的是球内的电场分布。已知 ，求得球内的电场为