第二节-常数项级数的审敛法.pptVIP

一、正项级数及其审敛法 例2. 讨论 p 级数 调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数. 例4. 判别级数 定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法) 例8. 讨论级数 *定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法) 说明 : 例10. 证明级数 二 、交错级数及其审敛法 用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性: 定理2. 绝对收敛的级数一定收敛 . 例2. 证明下列级数绝对收敛 : 内容小结 3. 任意项级数审敛法 思考与练习 备用题 2. 5. 6. 则各项符号正负相间的级数 称为交错级数 . 定理1 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件: 则级数 收敛 , 且其和 其余项满足 定理应用的关键 是条件1的验证。 证: 是单调递增有界数列, 又 故级数收敛于S, 且 故 4. 检验条件（1）常用的方法 （1）比值法： 考察 是否成立？ （2）差值法： 考察 是否成立？ （3）导数法： 找一函数 f (x) , 使 且当 x 充分大时， 是否成立？ 说明：1. 莱布尼兹定理的条件（1）不是必要条件 （条件（2）是必要的）。 2. 定理同时给出了级数的和与余项的估计式。 3. 定理应用的关键是条件1的验证。 收敛 收敛 收敛 上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ? 发散 收敛 收敛 例1 判别下列交错级数的收敛性 解: 由莱布尼茨判别法，所给交错级数收敛。 1. 所以当 n ? 3 时，必有 解 这是交错级数，但不满足莱布尼茨条件。 将原级数相邻两项加括号 发散， 性质4：若级数收敛，则任意加括号后所得新级数也收敛 所以原级数发散 . 例1 判别下列交错级数的收敛性 考虑任意项级数 一般项取绝对值后所得级数记为 (1)若 收敛， 则称原级数 绝对收敛 (2)若 发散， 而 收敛， 称原级数 条件收敛 三、绝对收敛与条件收敛 条件收敛 例如 ： 绝对收敛 证: 设 根据比较审敛法 显然 收敛, 收敛 收敛 且 收敛 , 令 问题：级数的绝对收敛与收敛之间是什么关系？ 说明 （1）定理2的逆命题不成立。 （2）定理提供了检验一般级数 是否收敛的一种 有效方法。 （3）若 发散， 不能断定 也发散， 但若是用比值或根值判别法判断 发散， 则可断定原级数 一定发散。 因为一般项不趋向于0！ 级数 收敛性判断的一般步骤： （1）检验 （3）用正项级数审敛法检验 是否收敛？ 则原级数绝对收敛，从而收敛， （4）若 发散， 但是用比值或根值法判断的， 则原级数也发散。 是否成立？ 若否，则原级数发散； 若是或 难求，则进行下一步； 若是， 否则，进行下一步； （2）若原级数为正项级数或交错级数，则可用正项级数 或莱布尼茨判别法检验其收敛性，否则进行下一步； （5）用性质或其它方法。 证: (1) 而 收敛 , 收敛 因此 绝对收敛，从而也收敛 . (2) 因此 收敛, 绝对收敛. 这是交错级数，其对应的绝对值级数通项为 例2.证明下列级数绝对收敛 例3：判定级数 的敛散性。 解：这里 x 可正可负，故它是一个任意项级数 所以，原级数对一切 都绝对收敛 考察正项级数 练习1.判定级数 的敛散性。 解： 当 | x | 1 时，原级数绝对收敛， | x | 1 时， 从而收敛； 考察正项级数 发散， 且是用比值法判别的， 从而发散 当 x = 1 时，级数为 调和级数，发散 当 x = ?1 时，级数为 交错级数，且 满足莱布尼兹定理条件，故级数收敛，且为条件收敛。 提示(1) 收敛 练习2.判定下列级数是否收敛，如果是收敛， 是绝对收敛还是条件收敛。 发散 条件收敛 ？ 其和分别为 *定理8. 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和. 说明: 证明参考书, 这里从略. *定理9. ( 绝对收敛级数的乘法 ) 则对所有乘积 按任意顺序排列得到的级数 也绝对收敛, 设级数 与 都绝对收敛, 其和为 但需注意条件收敛级数不具有这两条性质. 绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质. 2. 判别正项级数敛散性的方法与步骤 必要条件 不满足 发 散 满足 比值审敛法 根值审敛法 收 敛 发 散 不定 比较审敛法 用其它法判别 积分判别法 部分和极限 为收敛级数 Leibniz判别法: 则交错级数 收敛 概念: 绝对收敛 条件收敛 1.设正项级数 收敛, 能否推出 收敛 ? 提示: 由比较判敛法可知 收敛 . 注意: 反之不成立. 2.设有两个数列, 若 则（ ） 2009数学一 C * 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 第二节 一、正项级数