高考数学母题：一个图形一类试题.docVIP

2017年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 223 [中国高考数学母题](第073号) 一个图形.一类试题 以三角形及其一边上一点与该对点的连线构成的几何图形是高考命题的基本图,其中的连线包括三角形的三线:高线、中线和角平分线. [母题结构]:(基本图形)在△ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C,所对的边长,P是边BC上一点,且=λ,则AP2=λ(λ-1)a2+λb2+(1-λ)c2. [母题解析]:(Ⅰ)由=+=+λAP2=||2=(+λ)2=2+2λ +λ22=2-2λ+λ22=c2-λ(a2+c2-b2)+λ2a2=λ(λ-1)a2+λb2+(1-λ)c2. 1.中线问题 子题类型Ⅰ:(2012年江西高考试题)在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为 线段CD的中点,则=( ) (A)2 (B)4 (C)5 (D)10 [解析]:在△ACD中,由点P为CD的中点PA2=(AC2+AD2)-CD2;同理可得:PB2=(BC2+BD2)-CD2PA2+PB2=(AC2+ BC2+2AD2)-CD2=10|PC|2.故选(D). [点评]:由母题易得中线长公式(λ=):在△ABC中,若点D是BC的中点,则中线AD满足:AD2=(AB2+AC2)-BC2. [同类试题]: 1.(2013年浙江高考试题)在△ABC中,∠C=900,M是BC的中点.若sin∠BAM=,则sin∠BAC= . 2.二线问题 子题类型Ⅱ:(2015年重庆高考试题)在△ABC中,B=1200,AB=,A的角平分线AD=,则AC= . [解析]:如图,在△ABD中,由=sin∠ADB=∠ADB=450∠BAD=150 C=300;在△ABC中,由=AC=. [点评]:关于三角形角平分线问题,要掌握角平分线定理:若AD是△ABC内角A的平分线,则AB:AC=BD:DC; [同类试题]: 2.(2008年全国初中数学联赛天津初赛试题)在△ABC中,已知∠BAC=450.若AD⊥BC于点D,且BD=2,CD=3,则△ABC的面积为( ) (A) (B)5 (C) (D)15 3.基本图形 子题类型Ⅲ:(2010年课标高考理科试题)在△ABC中,D为边BC上一点,BD=DC, ∠ADB=1200,AD=2,若△ADC的面积为3-,则∠BAC= . [解析]:由ADDCsin600=3-DC=2(-1)BD=-1AC=(-1),AB=cos∠BAC=∠BAC=. [点评]:由△ABC及边BC上的一点D与点A的连线AD构成的几何图形是高考的母题图形,对此,除基底三角形法外,还可利用∠ADB+∠ADC=π,分别在ΔABD、ΔACD中,利用余弦定理求解. 224 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2017年课标高考母题 [同类试题]: 3.(2011年福建高考试题)如图,△ABC中,AB=AC=2,BC=2,点D在BC边上∠ADC=450,则AD的长 度等于 . 4.子题系列: 4.(2006年全国Ⅱ高考试题)己知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列,且AB=1,BC=4,则边BC上的中线AD的长为 . 5.(2000年第十一届“希望杯”全国数学邀请赛高二试题)△ABC中,BC=6,BC上的高为4,则ABAC的最小值是( ) (A)24 (B)25 (C)24 (D)26 6.(2010年全国高中数学联赛湖北初赛试题)在△ABC中,已知∠B的平分线交AC于K.若BC=2,CK=1,BK=,则△ABC的面积为 . 7.(2010年高考课标试题文科试题)在△ABC中,D为BC边上一点,BC=3BD,AD=,∠ADB=1350.若AC=AB,则BD= . 8.(2013年全国高中数学联赛贵州预赛试题,2013年福建高考试题)如图,在△ABC 中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin∠BAC=,AB=3,AD=3,则BD的长为 . 9.(2008年全国高中数学联赛天津初赛试题)如图,在△ABC中,已知∠B=400,∠BAD=300.若AB=CD,则∠ACD的大小为 (度