高考数学母题：一个公式一类试题.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:xxxxxx) 一个公式.一类试题 双曲线渐近线的斜率与离心率关系及应用 双曲线的渐近线与离心率是其特殊与重要的基本量,它们之间密切相关,其中渐近线的斜率与离心率之间存在一个公式,由该式可生成一类高考试题. [母题结构]:若双曲线的渐近线的斜率为k,则:①焦点在x轴上的双曲线的离心率e=;②焦点在y轴上的双曲线的离心率e=. [母题解析]:设双曲线C:-=λ(a0,b0,λ≠0),则双曲线C的渐近线方程为:-=0渐近线的斜率k=;①当双曲线的焦点在x轴上时,e==;②当双曲线的焦点在y轴上时,e==. 1.由渐近线,求离心率 子题类型Ⅰ:(2015年湖南高考试题)若双曲线-=1的一条渐近线经过点(3,-4),双曲线的离心率为( ) (A) (B) (C) (D) [解析]:由渐近线经过点(3,-4)渐近线的斜率k=-双曲线的离心率e==.故选(D). [点评]:由双曲线渐近线的斜率,求双曲线的离心率,要特别注意双曲线焦点的位置,根据焦点的位置,选择相应公式. 2.由离心率,求渐近线 子题类型Ⅱ:(2013年课标Ⅰ高考试题)已知双曲线C:-=1(a0,b0)的离心率为,则C的渐近线方程为( ) (A)y=x (B)y=x (C)y=x (D)y=x [解析]:由e===渐近线为y=x.故选(C). [点评]:每个公式都有正向和逆向两个方向的运用;由渐近线的斜率k,求离心率e,是公式e=的正向运用;而由离心率e,求渐近线的斜率k,则是她的逆向运用. 3.变式应用的两个方向 子题类型Ⅲ:(2015年山东高考试题)平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:-=1(a0,b0)的渐近线与抛物线C2: x2=2py(p0)交于点O,A,B,若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为 . [解析]:设渐近线:y=kx,代入x2=2py得x2=2pkxx=0,2pkA(2pk,2pk2),B(-2pk,2pk2);由C2的焦点F(0,) kAF=;由AF⊥OBkAFkOB=-1(-k)=-1k2=C1的离心率e==. [点评]:对公式e=的变式有两个方向:①隐含k,求e;②限定e,求k或渐近线方程;万变不离其宗,均由该式求解. 4.子题系列: 1.(2006年全国Ⅱ高考试题)双曲线-=1的一条渐近线方程为y=x,则双曲线的离心率为 . 2.(2007年江苏高考试题)在平面直角坐标系xOy中,双曲线中心在原点,焦点在y轴上,一条渐近线方程为x-2y=0,则它的离心率为( ) (A) (B) (C) (D)2 3.(2010年课标高考试题)中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2),则它的离心率为 . 4.(2006年陕西高考试题)己知双曲线(a)的两条渐近线的夹角为,则双曲线的离心率为 . 5.(2008年四川高考试题)若点P(2,0)到双曲线-=1的一条渐近线的距离为,则双曲线的离心率为 . 6.(2004年全国高中数学联赛福建初赛试题)设双曲线=1的离心率e∈[,2],则双曲线的两条渐近线夹角α的取值范围是 . 7.(2013年北京高考试题)若双曲线-=1的离心率为,则其渐近线方程为 . 8.(2008年重庆高考试题)己知双曲线-=1(a0,b0)的一条渐进线为y=kx(k0),离心率e=k,则双曲线方程为( ) (A) (B) (C) (D) 9.(2010年辽宁高考试题)设双曲线的—个焦点为F,虚轴的—个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为( ) (A) (B) (C) (D) 10.(2005年山东高考试题)设双曲线-=1(a0,b0)的右焦点为F,右准线l与两条渐近线交于P、Q两点,如果ΔPQF是直角三角形,则双曲线的离心率e= . 11.(2006年湖南高考试题)过双曲线M:x2-=1的左顶点A作斜率为