高考数学母题：利用点到直线距离的最小性妙解一类最小值问题.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 利用点到直线距离的最小性.妙解一类最值问题 函数f(x)=(x-x0)2+(y-y0)2的最小值问题的解法 我们知道点P(x0,y0)到直线l:ax+by+c=0的距离就是点P到直线l上的任意一点的距离的最小值;利用该结论可巧妙解一类二元函数的最值问题. [母题结构]:己知实数x,y满足ax+by+c=0(a2+b2≠0),则函数f(x)=(x-x0)2+(y-y0)2的最小值= . [母题解析]:令点P(x0,y0),在直线l:ax+by+c=0上任取一点Q(x,y),则f(x)=(x-x0)2+(y-y0)2=|PQ|2;由|PQ|的最小值=点P到直线l的距离d=函数f(x)的最小值=d2=. 1.直接考查 子题类型Ⅰ:(2003年第十四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)若2x+y≥1,u=y2-2y+x2+6x,则u的最小值等于 . [解析]:由u=y2-2y+x2+6x=(x+3)2+(y-1)2-10;令A(-3,1),直线l:2x+y-1=0,则2x+y≥1表示直 线l及其上方的区域,由A(-3,1)到2x+y-1=0的距离d=umin=d2-10=-. [点评]:本题是直接考查点到直线距离最小性的典型例子,赋于u=y2-2y+x2+6x的的几何意义是解决问题的关键. 2.变式考查 子题类型Ⅱ:(2011年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知a,b∈R,关于x的方程x4+ax3+2x2+bx+1=0有一个实根,求a2+b2的最小值. [解析]:设t为方程x4+ax3+2x2+bx+1=0的实根,则t4+at3+2t2+bt+1=0,即t3a+tb+t4+2t2+1=0,视为关于a,b的直线方程,由直线上一点(a,b)到原点的距离大于原点到直线的距离≥a2+b2≥= =++4≥8,当且仅当=,且=t2,即r=1,a=b=-2或r=-1,a=b=2时等号成立a2+b2的最小值为8. [点评]:本题是变式考查点到直线距离最小性的典型例子,把关于t的方程t4+at3+2t2+bt+1=0,视为关于a,b的直线方程t3a+tb+t4+2t2+1=0是解决问题的关键. 3.隐含考查 子题类型Ⅲ:(2009年全国高中数学联赛贵州初赛试题)已知向量a,b,c满足|a|=|b|=2,|c|=1,(a-c)(b-c)=0,则|a- b|的取值范围是 . [解析]:设c=(x,y),则x2+y2=1,由(a-c)(b-c)=0,不妨设a-c=(a,0),b-c=(0,b),则a=(x+a,y),b=(x,y+b)a-b=(a,-b) |a-b|=;由|a|=|b|=2(x+a)2+y2=4,x2+(y+b)2=4,两式相加得:2ax+2by+a2+b2-6=0直线l:2ax+2by+a2+b2-6 =0与圆x2+y2=1有交点圆心O到直线l的距离d=≤1;设t=|a-b|=0|t2-6|≤2tt4-16t2+36 ≤08-2≤t2≤8+2-1≤t≤+1|a-b|的取值范围是[-1,+1]. [点评]:本题是隐含考查点到直线距离最小性的典型例子,挖掘隐含条件:2ax+2by+a2+b2-6=0,并利用直线l:2ax+2by+a2+ b2-6=0与圆x2+y2=1有交点是解决问题的关键. 4.子题系列: 1.(2004年全国高中数学联赛福建初赛试题)如果实数x,y满足3x+2y-1≥0,那么u=x2+y2+6x-2y的最小值是 . 2.(2013年江西高考试题)设f(x)=sin3x+cos3x,若对任意实数x都有|f(x)|≤a,则实数a的取值范围是 . 3.(2013年课标Ⅰ高考试题)设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ= . 4.(2013年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设二次函数f(x)=ax2+(2b+1)x-a-2(a,b∈R,a≠0)在[3,4]上至少有一个零点,求a2+b2的最小值. 5.(2014年全国高中数学联赛贵州初赛试题)已知函数f(x)=x2+ax+++b(x∈R,且x≠0),若实数a、b使得f(x)=0有实根,求a2+b2的最小值. 6.(2014年全国高中数学联赛内蒙古初赛试题) 已知a=xb+yc(x,y∈R),|a|=|b|=2,|c|=1,(a-c)(b-c)=0,则|a-b|的取值范围是 . 5.子题详解: 1.解:由u=x2+y2+6x-2y=(x+3)2+(y-1)2-10;令A(-3,1),直线l:3x+2y-1=0,则3x+2y-1≥0