高考数学母题：利用定积分构造裂项式.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 利用定积分.构造裂项式 证明一类不等式mf(1)+f(2)+…+f(n)M的母题 证明不等式f(1)+f(2)+…+f(n)a问题,不仅经常以函数的形式,而且还经常以数列的方式出现在高考中,由于待证不等式的一边为常数a,而使该类问题的难度骤增;常用解法是放缩法,其中关键的“放缩式”,则是“经验的总结”,不易接受.如从定积分的角度考虑,则易于得到所需的“放缩式”,为此构造母题如下: [母题结构]:(Ⅰ)设函数f(x)的原函数为F(x),若函数f(x)在区间(m,n)上单调递减,且f(x) 0,则对任意的a、b∈(m,n),且ab,有:(b-a)f(b)F(b)-F(a)(b-a)f(a); (Ⅱ)(阿达玛积分不等式):㈠设函数f(x)的原函数为F(x),f(x)是区间(m,n)上的凹函数,且f(x) 0.则对任意的a、b∈(m,n),且ab,有:(b-a)f()F(b)-F(a)(b-a); ㈡设函数f(x)的原函数为F(x),f(x)是区间(m,n)上的凸函数,且f(x)0.则对任意的a、b∈(m,n), 且ab,有:(b-a)F(b)-F(a)(b-a)f(). [母题解析]:(Ⅰ)如图Ⅰ,设直线x=a与x轴相交于点A,与曲线y=f(x)相交于点F,直线x=b与x轴相交于点B,与曲线y=f(x)相交于点C,平行于x轴的直线CD与直线x=a交于点D,则矩形ABCD的面积曲边梯形ABCF的面积矩形ABEF的面积(b-a)f(b)F(b)-F(a)(b-a)f(a); (Ⅱ)㈠如图Ⅱ,设直线x=a与x轴相交于点A,与曲线y=f(x)相交于点D,直线x=b与x轴相交于点B,与曲线y=f(x)相交于点C,直线x=与x轴相交于点M,与曲线y=f(x)相交于点N,设曲线在点N处的切线l与直线AD,BC分别交于点D,E;由f(x)在区间(m,n)上是凹函数曲线y=g(x)不在切线l的下方梯形ABEF的面积曲边梯形ABCD的面积梯形ABCD的面积(b-a)f()F(b)-F(a)(b-a);同理可证㈡. 1.应用模式和程序 子题类型Ⅰ:(2009年全国高中数学联赛试题)使不等式++…+a-2007对一切正整数n都成立的最小正整数a的值为 . [解析]:准备工作(寻找裂项不等式):令f(x)=,则f(x)在区间[1,+∞)上单调递减,且f(x)0;又f(x)的原函数 F(x)=ln(n+x);在(b-a)f(b)F(b)-F(a)(b-a)f(a)中,令b=n+1,a=n得:f(n+1)F(n+1)-F(n)f(n),即得裂项不等式: ln(n+k)-ln(n+k-1); 解题正文:①(证明裂项不等式):令g(x)=lnx-ln(x-1)-(x≥2),则(x)=-+0g(x)在区间[2,+∞)上单调递增g(x)≥g(2)=ln2-0g(n+k)=ln(n+k)-ln(n+k-1)-0ln(n+k)-ln(n+k-1);同理可证:ln(n+ k)-ln(n+k-1);②(利用裂项不等式)由ln(n+k)-ln(n+k-1)++…+ln(n+n+ 1)-ln(n+1-1)=ln(2+)≤ln3;且++…+ln(n+n+2)-ln(n+2-1)=ln2;所以,最小正整数a,使不等式 ++…+a-2007对一切正整数n都成立ln2≤a-2007最小正整数a=2009. [点评]:利用母题证明不等式mf(1)+f(2)+…+f(n)M的程序是:①作函数f(x)(x≥1),判断函数f(x)在区间[1,+∞)上是否单调递减？或是否具有凸凹性？②利用母题构造裂项不等式;③完成解题过程. 2.裂项不等式比较 子题类型Ⅱ:(1992年全国高中数学联赛试题)求证:1617. [解析]:(法一)令f(x)=,则f(x)在区间[1,+∞)上单调递减,且f(x)0;又f(x)的原函数F(x)=2;在(b-a)f(b) F(b)-F(a)(b-a)f(a)中,令b=n+1,a=n得:f(n+1)F(n+1)-F(n)f(n)f(1)+f(2)+…+f(n)F(n+1)-F(1)=2-2,当n=80时,f(1)+f(2)+…+f(80)2×9-2=16;且f(1)+f(2)+…+f(n)f(1)+F(n+1)-F(1)=1+2-2=2-1当n=80时,f(1)+f(2)+…+f(80)2×9-1=17; (法二)令f(x)=,则f(x)在区间[1,+∞)上是凹函数,且f(x)0;又f(x)的原函数F(x)=2;在(b-a)f()F(b)- F(a)中,令b=n+1,a=n-1得:2f(n)F(n+1)-F(n-1)f(1)+f(2)+…+f(n)f(1)+[F(n+1)+F(n)-F