高考数学母题：二次曲线试题的中点弦特色和预测.docVIP

王老师(手机号码:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 课标高考全国卷数学试题揭秘.预测 第26讲:二次曲线试题的中点弦特色和预测 155 第26讲:二次曲线试题的中点弦特色和预测 特色惊爆 直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题,是解析几何中的重要内容之一,也是高考的一个热点问题;课标全国卷客观题中着意于中点弦问题对的考查形成其突出的特色. 试题揭秘 1.抛物线的中点弦: 1.(2009年高考课标试题文科第14题第1题)己知抛物线C的顶点为坐标原点,焦点在x轴上,直线y=x与抛物线C交于A、B两点.若P(2,2)为AB的中点,则抛物线C的方程为 . [解析]:(法一)设抛物线C:y2=2px,由中点弦斜率公式:kAB==;又由kAB=1=1p=2抛物线C:y2=4x; (法二)设抛物线C:y2=2px,由中点弦方程AB:2y-p(x+2)=4-4p与y=x比较得:t=p抛物线C:y2=4x. 2.(2009年高考课标试题理科第13题)己知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点为F(1,0),直线l与抛物线C交于A、B两点.若AB的中点为(2,2),则直线l的方程为 . [解析]:(法一)设抛物线C:y2=2px,由焦点F(1,0)抛物线C:y2=4x;由中点弦斜率公式:k==1直线l:y=x; (法二)设抛物线C:y2=2px,由焦点F(1,0)抛物线C:y2=4x由中点弦方程直线l:2y-4=22-42直线l:x-y=0. 2.椭圆、双曲线的中点弦: 3.(2013年高考课标Ⅰ试题理科第10题)已知椭圆E:+=1(ab0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为( ) (A)+=1 (B)+=1 (C)+=1 (D)+=1 [解析]:(法一)由中点弦斜率公式:kAB=-===;又由a2=b2+9a2=18,b2=9.故选(D); (法二)由a2-b2=9,设P(1,-1),则kAB=kFP=,kOP=-1;由中点弦斜率定理:kABkOP=-=a2=18,b2=9.故选(D). (法三)由焦点F(3,0)a2=b2+9;又中点弦方程AB:-=+过点F(3,0)=+a2=18,b2=9.故选(D). 4.(2010年高考课标试题理科第12题)已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程式为( ) (A)-=1 (B)-=1 (C)-=1 (D)-=1 156 第26讲:二次曲线试题的中点弦特色和预测 [解析]:(法一)由中点弦斜率公式:kAB===,又由a2+b2=9a2=4,b2=5.故选(B). (法二)设双曲线E:-=1,则a2+b2=9,kAB=kFN=1,kOP=;由中点弦斜率定理kABkOP==a2=4,b2=5.故选(B). (法三)设双曲线C:-=1(a0,b0);由焦点F(3,0)a2+b2=9;又中点弦方程AB:-+=-过焦点F(3,0)=5a4=4b2a2=4,b2=5.故选(B). 命题规律 关于中点弦:㈠中点弦斜率公式:①抛物线y2=2px以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=;②椭圆:+=1以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=-;③双曲线:-=1以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k= ;㈡中点弦斜率定理:①若椭圆C:+=1(ab0)以P为中点的弦为AB,则:kABkOP=e2-1=-;②若双曲线C:- =1(a0,b0)以P为中点的弦为AB,则:kABkOP=e2-1=;㈢中点弦方程式:圆锥曲线G:Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0以P(x0,y0)为中点的弦的方程:Ax0x+Cy0y+D+E+F=Ax02+Cy02+Dx0+Ey0+F;㈣中点弦存在的条件:①抛物线C:y2=2px(P0)存在以P(x0,y0)为中点弦y022px0;②椭圆C:+=1(ab0)存在以P(x0,y0)为中点的弦+1;③双曲线C:-=1(a0, b0)存在以P(x0,y0)为中点弦的充要条件是-1或-0. 原创预测 1.抛物线的中点弦: [原创示例]: