高考数学母题：不等问题.docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅱ(一-17):不等问题(717) 0039 不等问题 [母题]Ⅱ(一-17):(2005年全国Ⅲ高考试题)已知函数f(x)=2sin2x+sin2x,x∈(0,2π),求使f(x)为正值的x的集合. [解析]:因f(x)=1-cos2x+sin2x=sin(2x-)+1;所以,f(x)0sin(2x-)+10sin(2x-)-2kπ-2x-2kπ+kπxkπ+;又由x∈(0,2π)x∈(0,)∪(π,). [点评]:关于三角函数的不等式问题有三类:①解不等式;②已知不等式恒成立,求参数的取值范围;③利用不等式,解决相关问题. [子题](1):(2013年湖南高考试题)已知函数f(x)=sin(x-)+cos(x-),g(x)=2sin2. (Ⅰ)若α是第一象限角,且f(α)=,求g(α)的值; (Ⅱ)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合. [解析]:由f(x)=sinx,g(x)=1-cosx;(Ⅰ)由f(α)=sinα=cosα=g(α)=;(Ⅱ)由f(x)≥g(x) sinx+cosx≥1sin(x+)≥2kπ+≤x+≤2kπ+x∈{x|2kπ≤x≤2kπ+,k∈Z}. 注:利用三角函数线解简单的三角不等式,首先要求出三角函数线上两终边对应的角,由此写出不等式的解集. [子题](2):(2004年第一届中国东南地区数学奥林匹克试题)已知不等式(2a+3)cos(θ-)+-2sin2θ3a+6对于θ∈[0,]恒成立,求a的取值范围. [解析]:设x=sinθ+cosθ∈[1,],则cos(θ-)=x,sin2θ=x2-1;原不等式(2a+3)x+-2(x2-1)3a+62x3 -(2a+3)x2+(3a+4)x-60(x=是其一根)(2x-3)(x2-ax+2)0(2x-30)x2-ax+20ax+a3. 注:已知不等式恒成立,求参数的取值范围,常用解法是分离参数法,然后转化为函数的最值问题. [子题](3):(2009年上海春招试题)设函数fn(θ)=sinnθ+(-1)ncosnθ,0≤θ≤,其中n为正整数.(Ⅰ)判断函数f1(θ)、f3(θ)的单调性,并就f1(θ)的情形证明你的结论; (Ⅱ)证明:2f6(θ)-f4(θ)=(cos4θ-sin4θ)(cos2θ-sin2θ); (Ⅲ)对于任意给定的正整数n,求函数fn(θ)的最大值和最小值. [解析]:(Ⅰ)由f1(θ)=sinθ-cosθ=sin(θ-),f3(θ)均为单调递增的函数; (Ⅱ)由左边=2f6(θ)-f4(θ)=2(sin6θ+cos6θ)-(sin4θ+cos4θ)=2(sin2θ+cos2θ)(sin4θ-sin2θcos2θ+cos4θ)-(sin4θ+cos4θ)=1-sin22θ=cos22θ;(cos4θ-sin4θ)(cos2θ-sin2θ);右边=(cos2θ-sin2θ)2=cos22θ; (Ⅲ)当n=1时,f1(θ)的最大值=f1()=0,最小值=f1(0)=-1;当n=2时,f2(θ)=1f2(θ)的最大、最小值均为1;当n=3 时,f3(θ)的最大值=f3()=0,最小值=f3(0)=-1;当n=4时,f4(θ)=1-sin22θ在[0,]上单调递减f4(θ)的最大值= 0040 [母题]Ⅱ(一-17):不等问题(717) f4(0)=1,最小值=f4()=;n≥5的情形:当n为奇数时,对θ1、θ2∈[0,]且θ1θ2有0≤sinθ1sinθ21,0≤cosθ2 cosθ110≤sinnθ1sinnθ21,0≤cosnθ2cosnθ11fn(θ1)-fn(θ2)=(sinnθ1-sinnθ2)+(cosnθ2-cosnθ1)0fn(θ1)fn(θ2)fn(θ)在[0,]上递增fn(θ)的最大值=fn()=0,最小值=fn(0)=-1;当n为偶数时,一方面有fn(θ)=sinnθ+cosnθ≤sin2θ+cos2θ=1=fn(0);另一方面,对任意正整数k≥2有2f2k(θ)-f2k-2(θ)=(cos2k-2θ-sin2k-2θ)(cos2θ-sin2θ)≥0fn(θ)≥fn-