高考数学母题：奇偶周期函数的性质.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 奇(偶)周期函数的性质 奇(偶)周期函数的母题 奇、偶性和周期性同为函数的重要性质,两者相结,必然会产生艳丽的结果;同时,在知识的交汇处设计试题,是高考命题的原则;故此,我们构造母题如下: [母题结构]:(Ⅰ)如果函数f(x)是定义在R上以T为周期的奇函数,则f()=0(n∈Z); (Ⅱ)若定义在R上的奇(偶)函数f(x)满足f(x+2a)=f(x)+f(a),则f(a)=0,且f(x)是以T=2a为周期的周期函数. [母题解析]:(Ⅰ)由函数f(x)是以T为周期的奇函数f(x+T)=f(x),令x=-得:f()=f(-)f()=-f() f()=0;当n=2k(k∈Z)时,f()=f(kT)=f(0);当n=2k+1(k∈Z)时,f()=f(kT+)=f()=0; (Ⅱ)若f(x)是奇函数,在f(x+2a)=f(x)+f(a)中,令x=-a得:f(a)=f(-a)+f(a)f(a)=0f(x+2a)=f(x)f(x)是以T=2a为周期的周期函数;当f(x)是偶函数时,同理可证. 1.奇偶周期函数的零点 子题类型Ⅰ:(2005年福建高考试题)(理)f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,且f(2)=0,则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 [分析]:由f(0)=0,f(2)=0易得:f(3)=f(5)=0和f(4)=f(1)=f(2)=0,似应选(D).又f(x)是以3为周期的奇函数f() =0,无选项. [解析]:本题是错题,表现在选择支中没有正确的选项.因由f(0)=0f(3)=0;f(2)=0f(5)=0;f(4)=f(1)=f(-2)=- f(2)=0;又f(x)是以3为周期的奇函数f()=0f(+3)=0,在(0,6)内己有1,,2,3,4,,5共7个解. [点评]:造成该题错误的原因是命题者没有发现母题;我们可得一般结论:①f(x)是定义在R上的以T(T0)为周期的奇函数,且f(a)=0(a≠T/2,0aT),则方程f(x)=0在区间(0,2T)内解的个数的最小值是7;②f(x)是定义在R上的以T(T0)为周期的偶函数,且f(a)=0(a≠T/2,0aT),则方程f(x)=0在区间(0,2T)内解的个数的最小值是4. 2.奇偶周期函数的方程 子题类型Ⅱ:(2007年福建高一数学竞赛试题)已知f(x)为R上的偶函数,且对任意x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,则f(2007)= . [分析]:由f(x+6)=f(x)+f(3)f(3)=0f(x+6)=f(x)f(x)是以6为周期的偶函数,由此可求f(2007). [解析]:由f(x+6)=f(x)+f(3)f(3)=0f(x+6)=f(x)f(x)是以6为周期的偶函数f(2007)=f(334×6+3)=f(3)=0. [点评]:对奇偶周期函数的函数方程:f(x+2a)=f(x)+f(a),若改为f(x+a)=f(x)+f(a),则f(x)=kx不是周期函数. 3.奇偶周期函数的性质 子题类型Ⅲ:(2006年山东高考试题)己知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)的值为( ) (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2 [分析]:由f(x+2)=-f(x)f(x)是以T=4为周期的奇函数f(2)=0,由此可求f(6). [解析]:由f(x+2)=-f(x)f(x+4)=-f(x+2)=f(x)f(x)是以T=4为周期的奇函数f(2)=0f(6)=f(2)=0.故选(B). [点评]:由f(x+a)=-f(x)f(x)是以T=2a为周期的周期函数,但反之不成立,因此,满足f(x+a)=-f(x)的函数必然有其特别的性质,如:f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+a)=-f(x),则f()=0(n∈Z). 4.子题系列: 1.(2005年福建高考试题)(文)f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数,且f(2)=0,则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是( ) (A)5 (B)4 (C)3 (D)2 2.(2007年安徽高考试题)定义在R上的函数f(x)既是奇函数,又是周期函数.T是它的一个正周期