高考数学母题：函数零点.docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(8-14):函数零点(176) 499 函数零点 [母题]Ⅰ(8-14):(2012年大纲高考试题)已知函数y=x3-3x+c的图像与x恰有两个公共点,则c=( ) (A)-2或2 (B)-9或3 (C)-1或1 (D)-3或1 x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞) (x) + - + f(x) ↗ 2 ↘ -2 ↗ [解析]:由x3-3x+c=0x3-3x=-c; 令f(x)=x3-3x,(x)=3(x+1)(x-1), 列表如下,由此可得f(x)的图像如 图:所以,-c=2,或-c=-2.故选(A). [点评]:函数的零点问题是函数的基本问题,对此,我们在母题085与086中进行过初步研究,在 此,我们利用导数来研究较广泛的函数零点问题. [子题](1):(2014年课标Ⅰ高考试题)已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x00,则a的取值范围是( ) (A)(2,+∞) (B)(-∞,-2) (C)(1,+∞) (D)(-∞,-1) [解析]:由f(x)=0(x≠0)a=-()3+3();令g(t)=-t3+3t(t=),则(t)=-3(t+1)(t-1) g极小值(t)=g(-1)=-2;又由f(x)存在唯一正的零点g(t)=a存在唯一正的根a-2.故选(D). 注:本解法为作者给出,关键是使用了分离参数法,优于流行的“标准答案”. [子题](2):(2014年全国高中数学联赛贵州预赛试题)已知函数f(x)=x2ex与g(x)=2xex+a的图象有且只有三个交点, x (-∞,-) - (-,) (,+∞) (x) + - + f(x) ↗ (+2)e ↘ (-2)e ↗ 则实数a的取值范围是 . [解析]:由f(x)=g(x) x2ex=2xex+ax2ex- 2xex=a;令h(x)=x2ex-2xex,则(x)=(x2-2)ex,列表如下: 且当x0时,h(x)=x(x-2)ex0,由此可得f(x)的图像如图: 所以,f(x)与g(x)的图象有且只有三个交点y=h(x)与 y=a的图象有且只有三个交点a∈(0,(+2)e). 注:由f(x)与g(x)图象交点的横坐标方程f(x)=g(x)的根,变形方程f(x)=g(x),分离参数是解决该类问题的关键. [子题](3):(2012年福建高考试题)已知f(x)=x3-6x2+9x-abc,abc,且f(a)=f(b)=f(c)=0.现给出如下结论:①f(0)f(1)0;②f(0)f(1)0;③f(0)f(3)0;④f(0)f(3)0.其中正确结论的序号是( ) (A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④ [解析]:由(x)=3(x-1)(x-3)函数f(x)和导数(x)图像如下: 由图知,a1b3c,f(1)=4-abc0,f(3)=-abc0f(0)=-abc0 f(0)f(1)0,f(0)f(3)0.故选(C). 注:本题利用函数图象给出了巧解,实质上,充分利用函数图象是解决有关零点问题的有力方法. [子题系列]: 1.(2009年全国高中数学浙江初赛联赛试题)方程x3-12x+a=0有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是 . 2.(2000年上海交通大学保送生考试试题)若方程x3-27x+m=0有3个不同实根,求实数m的取值范围. 3.(2014年全国高中数学联赛福建预赛试题)若a,b,c为关于x的方程x3-x2-x+m=0的三个实根,则m的最小值为 . 4.(2008年武汉大学保送生考试试题)已知三次方程x3-3a2x-6a2+3a=0(a0)只有一个实根且是正的,求a的取值范围. 5.(2012年全国高中数学联赛福建初赛试题)若关于x的方程x3-3x2-9x=a在区间[-2,3]上恰有两个不同的实根,则实数a的取值范围为 . 6.(2008年南