高考数学母题：函数零点所在区间的判断方法.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 函数零点所在区间的判断方法 函数零点范围及其变式问题 函数零点的另一基本问题是零点范围,且由零点范围可变换得到其它问题,因此,该类问题渐成高考的热点. [母题结构]:探究判断函数f(x)零点范围的基本定理. [解题程序]:判断函数f(x)零点范围的基本定理:①函数f(x)在[a,b]上连续,且f(a)f(b)0,则函数f(x)在(a,b)内至少有一个零点;②若函数f(x)在[a,b]上单调,且f(a)f(b)0,则函数f(x)在(a,b)内恰有一个零点. 1.基本问题 子题类型Ⅰ:(2009年天津高考试题)设函数f(x)=x-lnx(x0),则y=f(x)( ) (A)在区间(,1),(1,e)内均有零点 (B)在区间(,1),(1,e)内均无零点 (C)在区间(,1)有零点,在区间(1,e)内无零点 (D)在区间(,1)无零点,在区间(1,e)内有零点 [解析]:(法一)由f(1)f(e)0f(x)在(1,e)内有零点;又当x∈(,1)时,f(x)0f(x)在(,1)无零点.故选(D). (法二)由(x)=-f(x)在(0,3)內递减,在(3,+∞)內递增,且f(3)=1-ln30,f(e)0,f(1)0.故选(D). [点评]:判定零点范围,使用:“若函数f(x)在[a,b]上单调,且f(a)f(b)0,则函数f(x)在(a,b)内恰有一个零点”更方便,因此,求函数f(x)的单调区间,是解决零点范围问题的基础. 2.变式问题Ⅰ 子题类型Ⅱ:(2013年天津高考试题)设函数f(x)=ex+x-2,g(x)=lnx+x2-3.若实数a,b满足f(a)=0,g(b)=0,则( ) (A)g(a)0f(b) (B)f(b)0g(a) (C)0g(a)f(b) (D)f(b)g(a)0 [解析]:由f(x)在R上为单调增函数,f(0)=-10,f(1)=e-10f(x)的零点a∈(0,1); 又由g(x)在(0,+∞)上为单调增函数,g(1)=-20,g(2)=ln2+10g(x)的零点b∈(1,2) f(b)f(1)0,g(a)g(1)0g(a)0f(b).故选(A). [点评]:本题是零点范围的一个典型的变式问题,对零点范围进行引伸是构造零点范围变式问题的方法之一,而研究一个函数在另一个函数零点处的取值符号是引伸手段之一. 3.变式问题Ⅱ 子题类型Ⅲ:(2012年山东高考试题)设函数f(x)=,g(x)=-x2+bx.若y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是( ) (A)x1+x20,y1+y20 (B)x1+x20,y1+y20 (C)x1+x20,y1+y20 (D)x1+x20,y1+y20 [解析]:在同一坐标系中分别画出两个函数的图象,要想满足条件,则有如图,做出点 A(x1,y1)关于原点的对称点C(-x1,-y1),由图象知-x1x2,-y1y2x1+x20,y1+y20.故选(B). [点评]:对零点范围变式的又一方法是研究两函数图像的交点,其中,研究两函数图像的 两个交点的中点位置是其典型问题. 4.子题系列: 1.(2005年江苏高考试题)若3a=0.618,a∈[k,k+1),则k= .(本题少条件,应有k∈Z). 2.(2007年山东高考试题)设函数y=x3与y=()x-2的图象的交点为(x0,y0),则x0所在的区间是( ) (A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,3) (D)(3,4) 3.(2010年上海高考试题)(理)若x0是方程的解,则x0属于区间( ) (A)(,1) (B)(,) (C)(,) (D)(0,) 4.(2010年天津高考试题)(文)函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是( ) (A)(-2,-1) (B)(-1,0) (C)(0,1) (D)(1,2) 5.(2010年天津高考试题)(理)函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是(