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核心素养提升——科学思维系列(三) 斜面模型和等时圆模型 模型1　斜面模型 光滑斜面 粗糙斜面下滑 粗糙斜面上滑 (2019·河北石家庄调研)如图所示，一倾角θ＝37°的足够长斜面固定在水平地面上．当t＝0时，滑块以初速度v0＝10 m/s沿斜面向上运动，已知滑块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，取g＝10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，下列说法正确的是(　　) A．滑块一直做匀变速直线运动 B．t＝1 s，滑块速度减为零，然后静止在斜面上 C．t＝2 s时，滑块恰好又回到出发点 D．t＝3 s时，滑块的速度大小为4 m/s 【解析】　设滑块上滑时的加速度大小为a1，由牛顿第二定律可得mgsinθ＋μmgcosθ＝ma1，解得a1＝10 m/s2，上滑时间t1＝eq \f(v0,a1)＝1 s，上滑的距离x1＝eq \f(1,2)v0t1＝5 m，因tanθμ，mgsinθμmgcosθ，滑块上滑到速度为零后向下运动，选项B错误；设滑块下滑时的加速度大小为a2，由牛顿第二定律可得mgsinθ－μmgcosθ＝ma2，解得a2＝2 m/s2，经1 s，滑块下滑的距离x2＝eq \f(1,2)a2teq \o\al(2,2)＝1 m5 m，滑块未回到出发点，选项C错误；因上滑和下滑过程中的加速度不同，故滑块全程不是匀变速直线运动，选项A错误；t＝3 s时，滑块沿斜面向下运动，此时的速度v＝a2(t－t1)＝4 m/s，选项D正确． 【答案】　D 1．为了使雨滴能尽快地淌离房顶，要设计好房顶的高度，设雨滴沿房顶下淌时做无初速度无摩擦的运动，那么如图所示的四种情况中符合要求的是(　C　) 解析：设屋檐的底角为θ，底边长为2L(不变)．雨滴做初速度为零的匀加速直线运动，根据牛顿第二定律得加速度a＝eq \f(mgsinθ,m)＝gsinθ，位移大小x＝eq \f(1,2)at2，而x＝eq \f(L,cosθ)，2sinθcosθ＝sin2θ，联立以上各式得t＝eq \r(\f(4L,gsin2θ)).当θ＝45°时，sin2θ＝1为最大值，时间t最短，故选项C正确． 2．放在固定粗糙斜面上的滑块A以加速度a1沿斜面匀加速下滑，如图甲．在滑块A上放一物体B，物体B始终与A保持相对静止，以加速度a2沿斜面匀加速下滑，如图乙．在滑块A上施加一竖直向下的恒力F，滑块A以加速度a3沿斜面匀加速下滑，如图丙．则(　B　) 　 A．a1＝a2＝a3 B．a1＝a2a3 C．a1a2＝a3 D．a1a2a3 解析：题图甲中的加速度为a1，则有mgsinθ－μmgcosθ＝ma1， 解得a1＝gsinθ－μgcosθ. 题图乙中的加速度为a2，则有 (m＋m′)gsinθ－μ(m＋m′)gcosθ＝(m＋m′)a2， 解得a2＝gsinθ－μgcosθ. 题图丙中的加速度为a3，设F＝m′g，则有 (m＋m′)gsinθ－μ(m＋m′)gcosθ＝ma3， 解得a3＝eq \f(?m＋m′?gsinθ－μ?m＋m′?gcosθ,m). 故a1＝a2a3，故B正确． 模型2　等时圆模型 (1)质点从竖直圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到环的最低点所用时间相等，如图甲所示； (2)质点从竖直圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等，如图乙所示； (3)两个竖直圆环相切且两环的竖直直径均过切点，质点沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到下端所用时间相等，如图丙所示． 如图所示，在倾角为θ的斜面上方的A点处旋转一光滑的木板AB，B端刚好在斜面上，木板与竖直方向AC所成角度为α，一小物块由A端沿木板由静止滑下，要使物块滑到斜面的时间最短，则α与θ角的大小关系(　　) A．α＝θ B．α＝eq \f(θ,2) C．α＝2θ D．α＝eq \f(θ,3) 【解析】　如图所示，在竖直线AC上选取一点O，以适当的长度为半径画圆，使该圆过A点，且与斜面相切于B点．由等时圆模型的特点知，由A点沿斜面滑到B点所用时间比由A点到达斜面上其他各点所用时间都短．而∠COB＝θ，则α＝eq \f(θ,2). 【答案】　B 3．(多选)如图所示，oa、ob和ad是竖直平面内三根固定的光滑细杆，o、a、b、c、d位于同一圆周上，c为圆周的最高点，a为最低点，o′为圆心，每根杆上都套着一个小滑环，两个滑环从o点无初速释放，一个滑环从d点无初速释放，用t1、t2、t3分别表示滑环沿oa、ob、da到达a、b所用的时间，则下列关系正确的是(　BC　) A．t1＝t2 B．t1＝t3 C．t1t2 D．t2t3 解析：设ob与竖直方向的夹角为θ，由几何关系得oa与竖直方向的夹角为eq \f(1,2)θ，环沿oa下滑时的加速度大小为a