第2章-控制系统状态空间表达式的解.pptVIP

在特定控制作用下，如脉冲函数、阶跃函数和斜坡函数的激励下，则 系统的解式（2）可以简化为以下公式： 1.脉冲响应 即当 时 2.阶跃响应 即当 时 3.斜坡响应 即当 时 （6） （7） （8） 第二章 或 * 2.1 线性定常齐次状态方程的解(自由解) 2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵 2.3 线性定常系统非齐次方程的解 2.4 线性时变系统的解 2.5 离散时间系统状态方程的解 2.6 连续时间状态空间表达式的离散化 2.1 线性定常齐次状态方程的解(自由解) 所谓系统的自由解，是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由 运动。此时，状态方程为齐次微分方程： (1) 若初始时刻 时的状态给定为 则式(1)有唯一确定解： (2) 若初始时刻从 开始，即 则其解为： (3) 证明 和标量微分方程求解类似，先假设式(1)的解 为 的矢量 幂级数形式，即 (4) 代入式(1)得： (5) 既然式(4)是式(1)的解，则式(5)对任意时刻 都成立，故 的同次 幂项的系数应相等，有： 在式(4)中，令 ，可得： 将以上结果代入式(4)，故得： (6) 等式右边括号内的展开式是 矩阵，它是一个矩阵指数函数，记为 ，即 (7) 于是式(6)可表示为： 再用 代替 即在代替 的情况下，同样可以证明式2) 的正确性。 2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵 2.2.1 状态转移矩阵 齐次微分方程(1)的自由解为： 或 1．性质一 这就是组合性质，它意味着从 转移到0，再从0转移到 的组合。 或 (1) 2.2.2 状态转移矩阵(矩阵指数函数)的基本性质 即 2.性质二 或 (2) 3.性质三 或 (3) 4.性质四 或 (4) 这个性质说明， 矩阵与A矩阵是可以交换的。 5.性质五 对于 方阵A和B，当且仅当AB=BA时，有 而当AB≠BA是，则 这个性质说明，除非距阵A与B是可交换的，它们各目的矩阵指数函 数之积与其和的矩阵指数函数不等价。这与标量指数函数的性质是不同的。 2.2.3 几个特殊的矩阵指数函数 1．若 A 为对角线矩阵，即 (5) 则 (6) 2.若 A 能够通过非奇异变换予以对角线化，即 则 (7) 3.若 A 为约旦矩阵 则 (8) 4.若 (9) 1.根据 的定义直接计算 2.变换 A 为约旦标准型 （1）A 特征根互异 其中 T 是使 A 变换为对角线矩阵的变换阵。由式（7），有： 2.2.4 的计算 2.2.4 的计算 2.2.4 的计算 2.2.4 的计算 2.2.4 的计算 3.利用拉氏反变换法求 (10) 证明 齐次微分方程 两边取拉氏变换 即 故 4.应用凯莱—哈密顿定理求 对上式两边取拉氏反变换，从而得到齐次微分方程的解： （1）由凯莱—哈密顿定理，方阵A满足其自身的特征方程，即 所以有 它是 的线性组合。 同理 以此类推， 都可用 线性表示。 (2)在 定义中，用上面的方法可以消去 A 的 n及 n以上的冥次项， 即 （11） （3） 的计算公式 A的特征值互异时，则 证明 根据A满足其自身特征方程的定理，可知特征值 和 A 是 可以互换的，因此， 也必须满足式（11），从而有： （12） 上式对 求解，记得式（12）。 A 的特征值均相同，为