分类计数原理和分步计数原理(一).pptVIP

关于分类计数原理的几点注意： 分步计数原理 完成一件事，需要分成ｎ个步骤，做第1步有　　种不同的方法，做第2步有　　种不同的方法……做第ｎ步有　　种不同的方法．那么完成这件事共有 N＝　　　　　　　　　　　种不同的方法． 关于分步计数原理的几点注意 分类计数原理与分步计数原理的区别 分类计数原理与分步计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法总数的问题．区别在于：分类计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用中任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事． * * 甲 问题1 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车。一天中，火车有3班，汽车有2班。那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 乙 火 车 2 火 车 1 火 车 3 汽 车 1 汽 车 2 3+2=5（种） 分类计数原理 分类计数原理又称“加法原理” 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1 种不同的方法，在第2类方法中有 m2 种不同的方法，…，在第n类办法中有mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝m1 ＋m2 ＋ ＋mn 种不同的方法 ⑴各类办法之间相互独立，都能完成这件事，且办法总数是各类办法相加，所以这个原理又叫做加法原理； ⑵分类时，首先要在问题的条件之下确定一个分类标准，然后在确定的分类标准下进行分类； ⑶完成这件事的任何一种方法必属于某一类，且分别属于不同两类的两种方法都是不同的——不重不漏． 火 车 2 火 车 1 火 车 3 问题2 从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地。一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 甲 乙 丙 汽 车 2 汽 车 1 火车1－汽车1 火车1－汽车2 火车2－汽车1 火车2－汽车2 火车3－汽车1 火车3－汽车2 分步计数原理又叫作“乘法原理” ⑴各个步骤之间相互依存，且方法总数是各个步骤的方法数相乘，所以这个原理又叫做乘法原理 ； ⑵分步时首先要在问题的条件之下确定一个分步标准，然后在确定的分步标准下分步； ⑶完成这件事的任何一种方法必须并且只需连续完成每一个步骤． 例题 例1. 某班级三好学生中男生有5人,女生有4人。 (1)从中任选一人去领奖, 有多少种不同的选法？ (2)从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会,有多少种不同的选法？ 分析: (1) 完成从三好学生中任选一人去领奖这件事,共有2类办法, 第一类办法, 从男三好学生中任选一人, 共有 m1 = 5 种不同的方法; 第二类办法, 从女三好学生中任选一人, 共有m2 = 4 种不同的方法; 所以,根据加法原理,得到不同选法种数共有N = 5 + 4 = 9。 (2) 完成从三好学生中任选男、女各一人去参加 座谈会这件事, 需分2步完成, 第一步,选一名男三好学生,有 m1 = 5 种方法; 第二步, 选一名女三好学生,有 m2 = 4 种方法; 所以, 根据乘法原理, 得到不同选法种数共有 N = 5 × 4 = 20 种。 点评: 解题的关键是从总体上看做这件事情是 “分类完成”,还是“分步完成”。“分类完成”用“加法原理”;“分步完成”用“乘法原理”。 例题 例2 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书。 （1）从书架上任取一本书，有多少种取法？ （2）从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不同的取法? 注意区别“分类”与“分步” 解 : (1)从第1层任取一本,有4种取法,从第2层任取一本,有3种取法,从第3层任取一本,有2种取法,共有 4+3+2=9 种取法。 答：从书架上任意取一本书，有9种不同的取法。 (2) 从书架的1 、 2 、 3层各取一本书,需要分三步完成, 第1步,从第1层取1本书,有4种取法,第2步,从第2层取1本书,有3种取法,第3步, 从第3层取1本书,有2种取法.由分步计数原理知,共有 4×3×2=24 种取法。 答：从书架上的第1、2、3层各取一本书，有24种不同的取法。 分类时要做到不重不漏 分步时做到不缺步 *