二项分布和超几何分布的数学期望资料.docVIP

二项分布的数学期望 X～b(n,p)，其中n≥1,0p1. P{X=k}=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k),k=0,1,...,n. EX=np,DX=np(1-p). 证明方法(一)： 将X分解成n个相互独立的，都服从以p为参数的(0-1)分布的随机变量之和： X=X1+X2+...+Xn,Xi～b(1,p)，i=1,2,...,n. P{Xi=0}=1-p,P(Xi=1)=p. EXi=0*(1-p)+1*p=p, E(Xi^2)=0^2*(1-p)+1^2*p=p, DXi=E(Xi^2)-(EXi)^2=p-p^2=p(1-p). EX=EX1+EX2+...+EXn=np, DX=DX1+DX2+...+DXn=np(1-p). ? 证明方法(二)： EX=∑kb(k;n,p)=∑k*C(k,n)p^kq^(n-k) =np∑C(k-1,n-1)p^(k-1)q^(n-1-k+1) =np∑C(k,n-1)p^kq^(n-1-k) =np∑b(k;n-1,p) =np DX=npq 可用公式DX=EX^2-(EX)^2求出 EX^2=∑k^2b(k;n,p) =∑[k(k-1)+k]b(k;n,p) =∑k(k-1)b(k;n,p)+∑kb(k;n,p) =n(n-1)p^2∑b(k;n-2,p)+np =n(n-1)p^2+np=n^2p^2+npq =n^2p^2+npq 所以DX=EX^2-(EX)^2=n^2p^2+npq-n^2p^2 =npq 二项分布和超几何分布的数学期望 当X～B(n，p)时， E(X) = eq \o(?,\s\up7(n),\s\do6(r = 1))rCeq \o\al(\s\up1(r),n) pkqn ? k ? npeq \o(?,\s\up7(n),\s\do6(r = 1))Ceq \o\al(\s\up1(r ? 1),n ? 1) pk ? 1qn ? k ? np(p ? q)n ? 1 ? np． 为求超几何分布的数学期望，我们先建立数学期望的基本性质： 性质1 若a≤X≤b，则a≤E(X)≤b．特别地，E(c) ? c，这里的a，b，c是常数； 性质2 线性性：对任意常数ci，i ? 1, 2, …, n，及b，有 E(eq \o(?,\s\up6(n),\s\do6(i =1))ciXi ? b) ? eq \o(?,\s\up6(n),\s\do6(i =1))ciE(Xi) ? b． 下面计算超几何分布X～H(n，M，N)的数学期望． 设想一个相应的不放回抽样，令 Xi ? eq \b\lc\{(\a\al\vs2(1，第i次抽得废品；,0，第i次抽得好品，)) 则P(Xi ? 1) ? eq \s\do2(\f(M,N))，因此E(Xi) ? eq \s\do2(\f(M,N))，而X ? X1 ? X2 ? … ? Xn表示n次抽样中抽出的废品数，它服从超几何分布，利用性质2，得到 E(X) = E(X1) ? … ? E(Xn) ? eq \s\do2(\f(nM,N))．